Однако не следует думать, что геометрия подобий ничем, кроме формы изложения, не отличается от евклидовой геометрии. Существуют факты, которые отличают эти две геометрии. Например, условимся говорить, что линия L может скользить но себе, если для любых двух точек A,B этой линии найдется преобразование f (принадлежащее группе, задающей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию L в себя, а точку A - в B. В геометрии Евклида (т.е. в геометрии, определяемой группой движений плоскости) существуют только два типа связных линий (т.е. состоящих из одного куска), которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это – логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах уравнением ρ = ρ0ekφ (рис. 16).
Рис. 16
Еще один необычный факт геометрии подобий мы получим, рассматривая преобразование g = h ∘ r, где r - поворот вокруг точки O на угол φ0, а h - гомотетия с центром O и коэффициентом k0 > 0. Пусть ..., A-2,A-1,A0,A1,A2... - последовательность точек, переходящих друг в друга при преобразовании g, т.е. g(Ai) = Ai+1 при любом целом i (рис. 17). Эти точки лежат на одной логарифмической спирали, причем для любого целого i угол AiOAi+1 имеет одну и ту же величину φ0. Последовательно соединяя эти точки, мы получим бесконечную ломаную линию ..., A-2,A-1,A0,A1,A2..., которая переводится преобразованием g в себя, причем каждая вершина Ai переводится в соседнюю вершину Ai+1.
Рис. 17
Заметим, что рассмотренное преобразование подобия g = h ∘ r (его называют поворотным растяжением) имеет тесную связь с комплексными числами. Комплексное число z = x + iy можно представить в виде направленного отрезка, идущего из начала координат в точку (x;y). При таком геометрическом изображении комплексные числа складываются как векторы (рис. 18). А для получения геометрической интерпретации умножения комплексных чисел удобно поворотное растяжение g = h ∘ r, рассмотренное выше. Именно, пусть z = x + iy - некоторое комплексное число, ρ - его модуль (т.е. длина изображающего отрезка), а φ - аргумент (т.е. угол наклона изображающего направленного отрезка к положительной части оси абсцисс). Число z получается из числа 1, если, во-первых, вектор, изображающий число 1, растянуть в ρ раз, и, во-вторых, повернуть его на угол φ (рис. 19), т. е. вектор z получается из вектора 1 преобразованием g = h ∘ r = r ∘ h, где h - гомотетия с центром в начале и коэффициентом ρ, а r - поворот вокруг начала на угол φ. Итак, z = g(1). Если теперь z' = x' + iy' - другое комплексное число, то при применении преобразования g (т. е. при растяжении изображающего вектора в ρ раз и повороте его на угол φ) число z' переходит в z" (рис. 19). Можно сказать и иначе: треугольники на рис. 19 подобны. Это и дает геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Из сказанного ясно, что при умножении всех комплексных чисел на одно и то же комплексное число z вся плоскость комплексных чисел подвергается поворотному растяжению. В частности, для любых трех комплексных чисел z0,z1,z2 мы имеем z2 - z0 = z(z1 - z0), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению длин векторов z2 - z0 и z1 - z0, а аргумент равен углу между этими векторами (рис. 20).
Рис. 18
