Рис. 19
Рис. 20
Задача 7. На сторонах треугольника A1A2A3 построены вне его подобные между собой треугольники A1B1A2, A2B2A3, A3B3A1. Доказать, что точка пересечения медиан ΔB1B2B3 совпадает с точкой пересечения медиан ΔA1A2A3.
Решение. Обозначим через a1,a2,a3,b1,b2,b3 комплексные числа, изображаемые векторами 
, 
, 
, 
, 
, 
. Тогда a2 - b1 = z(a1 - b1), a3 - b2 = z(a2 - b2), a1 - b3 = z(a3 - b3), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению боковых сторон рассматриваемых подобных треугольников, а аргумент равен φ (рис. 21). Складывая эти равенства, получаем (после очевидных упрощений):
(z-1)(b1 + b2 + b3) = (z-1)(a1 + a2 + a3) .
Рис. 21
Так как z ≠ 1 (поскольку аргумент φ числа z отличен от нуля), то отсюда следует, что b1 + b2 + b3 = a1 + a2 + a3. Переходя к векторным обозначениям и деля на 3, получаем
,
а это и означает, что точки пересечения медиан ΔB1B2B3 и ΔA1A2A3 совпадают (см. Вектор).
Расскажем коротко и о других преобразованиях, играющих важную роль в современной геометрии. Преобразование f евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводит снова в прямую, а параллельные между собой прямые – снова в параллельные (рис. 22). Если на плоскости введена система координат, то аффинное преобразование задается линейными соотношениями, т.е. точка A'(x';y'), в которую переходит точка A(x;y), определяется формулами
,
где ad - bc ≠ 0 (и обратно: такими формулами задается некоторое аффинное преобразование). Далее, если A,B,C - три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, и A', B', C' - три другие точки, также не лежащие на одной прямой, го существует, и притом только одно, аффинное преобразование, переводящее точки A,B,C соответственно в A', B', C'. Отметим, что длины и углы могут изменяться при аффинных преобразованиях. Не сохраняется (в отличие от преобразований подобия) и отношение длин отрезков. Однако отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется при любом аффинном преобразовании. В частности, середина отрезка переходит при аффинном преобразовании снова в середину отрезка, параллелограмм переходит в параллелограмм, медиана треугольника в медиану и т. п. Круг при аффинном преобразовании переходит в эллипс, причем из отмеченных выше свойств аффинных преобразований легко следует, что середины параллельных между собой хорд эллипса лежат на одном отрезке, проходящем через центр эллипса (рис. 23).
Рис. 22
Рис. 23
Все аффинные преобразования плоскости, вместе взятые, образуют группу преобразований, и потому (см. Геометрия) они определяют некоторую геометрию. Она называется аффинной геометрией. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами фигур, которые изучаются в аффинной геометрии) являются прямолинейное расположение точек, параллельность, отношение длин параллельных отрезков и другие свойства, получаемые из этих (например, наличие у фигуры центра симметрии). Не говоря более подробно об этой геометрии, покажем на примерах, как отмеченные выше свойства аффинных преобразований могут быть применены при решении задач.
Задача 8. Доказать, что в произвольной трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Решение. Для равнобочной трапеции это очевидно (так как равнобочная трапеция симметрична относительной прямой, проходящей через середины оснований). Пусть теперь A'B'C'D' - произвольная трапеция и пусть ABCD - равнобочная трапеция с теми же длинами оснований (рис. 24). Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее точки A,B,C соответственно в A', B', C'. При этом преобразовании прямые AD, BC перейдут в A'D', B'C' (поскольку AD || BC, а параллельность прямых сохраняется). Далее, так как |AD| / |BC| = |A'D'| / |B'C'|, то точка D перейдет в D' (поскольку отношение параллельных отрезков сохраняется). Иначе говоря, трапеция ABCD перейдет в трапецию A'B'C'D'. Следовательно, прямолинейное расположение точек M,N,P,Q сохранится, т.е. в трапеции A'B'C'D' точки M',N',P',Q' также лежат на одной прямой.