Итак, пусть сначала n = 2. Иначе говоря, рассматриваются числа x,y, удовлетворяющие условию x + y = 1, и требуется найти, в каком случае сумма квадратов x2 + y2 будет наименьшей.
Уравнение x + y = 1 определяет на координатной плоскости прямую l (рис. 4). Рассмотрим окружность S с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка A). Если точка M(x;y) прямой l отлична от A, то она лежит вне окружности S и потому |OM| больше радиуса r этой окружности, т. е. x2 + y2 > r2. Если же M = A, то сумма x2 + y2 равна r2, т.е. именно для точки A эта сумма принимает наименьшее значение. Точка A имеет координаты x = y = 1/2; это и есть решение поставленной алгебраической задачи (при n = 2).
Рис. 4
Пусть теперь n = 3. Уравнение x + y + z = 1 определяет в пространстве плоскость α. Рассмотрим сферу S с центром в начале O, касающуюся этой плоскости в некоторой точке A (рис. 5). Для любой точки M ∈ α, отличной от A, ее расстояние от точки O больше радиуса r сферы S, |OM|2 > r2, и потому x2 + y2 + z2 > r2, а при M = A имеем x2 + y2 + z2 = r2. Таким образом, именно для точки A сумма x2 + y2 + z2 принимает наименьшее значение. Точка A имеет равные координаты: x = y = z (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: x → y; y → z, z → x, и плоскость α, и сфера S переходят в себя, а потому их общая точка остается неподвижной). А так как x + y + z = 1, то точка A имеет координаты x = y = z = 1/3; это и есть решение поставленной задачи (для n = 3).
Рис. 5
Рассмотрим, наконец, произвольное n; рассуждения будем вести в n-мерном пространстве, точками которого являются последовательности (x1,x2,...,xn), состоящие из n действительных чисел. Уравнение x1 + x2 + ... + xn = 1 определяет в этом пространстве «плоскость» α, имеющую размерность n-1 (например, при n = 3, т.е. в трехмерном пространстве, такое уравнение определяет плоскость размерности 2, т.е. на единицу меньшей размерности, чем все пространство). Математики называют плоскости, имеющие размерность n-1, гиперплоскостями в n-мерном пространстве. Рассмотрим сферу S с центром в начале координат O, касающуюся гиперплоскости α в некоторой точке A. Все точки гиперплоскости α, кроме A, лежат вне сферы S, т.е. находятся от начала координат O на расстоянии, большем, чем радиус r сферы S, а точка A находится от O на расстоянии, равном r. Следовательно, сумма x12 + x22 + ... + xn2 принимает в точке A наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости α. Заметим теперь, что все координаты точки A равны между собой: x1 = x2 = ... = xn (поскольку поворот пространства, переставляющий оси x1 → x2, ..., xn-1 → xn, xn → x1, переводит гиперплоскость α в себя и сферу S тоже в себя, а потому оставляет точку A неподвижной), откуда x1 = x2 = ... = xn = 1/n. Итак, при x1 + x2 + ... + xn = 1 сумма квадратов x12 + x22 + ... + xn2 принимает наименьшее значение для x1 = x2 = ... = xn = 1/n.
Разумеется, это геометрическое решение читатель может признать корректным лишь в случае, если он уже владеет понятиями n-мерной геометрии, но характер этого решения и польза n-мерной геометрической интерпретации для рассмотренной алгебраической задачи очевидны.
|
Пример 2. На три завода З1,З2,З3 (рис. 6) нужно завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах C1,C2 в соответствии с данными, указанными в таблице. Наличие сырья |
Потребность в сырье |
|||
|
C1 |
C2 |
З1 |
З2 |
З3 |