Рис. 4
Рис. 5
Гиперболические функции находят применение в электротехнике, строительной механике, сопротивлении материалов и др. С помощью гиперболических функций описывается, например, прогиб каната (цепи, проволоки, веревки); такая кривая называется цепной линией.
ГРАФИК
График функции – один из способов ее представления. Представить ту или иную функцию можно по-разному, например словесным описанием. Из физики известно, что при равномерном движении пройденный путь прямо пропорционален времени, прошедшему с момента начала пути. Эта фраза описывает путь как линейную функцию времени.
В руках у электрика можно увидеть таблицу, где для проводов различных диаметров указаны предельно допустимые значения силы тока, на парте школьника – таблицы логарифмов и тригонометрических функций... Все это примеры табличного представления функций. В выкладках и расчетах функции обычно задают с помощью формул.
У каждого способа представления функции есть свои достоинства. Словесный наиболее прост и доходчив, если, конечно, функцию удается описать простыми фразами. Формулы часто используют потому, что с ними удобно проводить вычисления, их можно преобразовывать и анализировать, выясняя свойства функции. Табличный способ предпочитают тогда, когда трудно вычислить значения функции или когда она может принимать лишь несколько отдельных значений (здесь убедителен пример с проводами: по действующим в промышленности стандартам их диаметры могут равняться только нескольким определенным значениям).
Графический способ представления функции – самый наглядный. График функции – это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента. А именно, график функции y=f(x) - это множество точек (x,y) на координатной плоскости, где координате x придаются всевозможные значения из области определения функции, и для каждою такого x значение y определяется функциональной зависимостью y=f(x). Функциональная зависимость предполагает, что каждому значению x из области определения функции соответствует одно, и только одно, значение y. Отсюда следует, что любой перпендикуляр, восставленный к оси абсцисс в какой-либо точке из области определения функции, пересекает ее график лишь в одной точке. Поэтому линии, изображенные на рис. 1, не могут быть графиками никаких функций, а линия, изображенная на рис. 2, есть график некоторой функции.
Рис. 1
Рис. 2
Благодаря своей наглядности графический способ задания функций часто сопутствует другим способам. Выведя формулу какой-либо функциональной зависимости, исследователь вслед за этим строит еще и ее график. На многих электронных вычислительных машинах кроме печатающего устройства, выдающего результаты расчетов в виде колонки цифр, есть и графопостроитель, представляющий те же результаты в форме графиков. Многие приборы выдают показания именно в виде графиков. Например, барограф вычерчивает график атмосферного давления как функции времени, кардиограмму можно назвать графиком работы сердца.
Графики большинства функций имеют названия, сходные с названием самой функции. График функции синус называют синусоидой, график функции тангенс – тангенсоидой, график логарифмической функции – логарифмикой и т.д.
Чтобы построить эскиз графика функции, предварительно проводят ее исследование. Оно ведется поэтапно следующим путем.
Находят область определения функции и область ее значений. Это определяет разметку координатных осей, в которых строится график.
Находят промежутки непрерывности функции и определяют точки ее разрыва. В точках бесконечного разрыва проводят вспомогательные (например, пунктирные) прямые - асимптоты, к которым будет приближаться график функции, уходя в бесконечность того или иного знака. На эскизе указывают такое поведение графика в точках разрыва.