Далее вычисляют первую производную функции и отыскивают точки, в которых производная не существует или равна нулю (критические точки), а также находят участки возрастания и убывания функции. Если на некотором промежутке производная функции положительна, то функция здесь возрастает. Если отрицательна – функция убывает на этом участке.
Находят экстремумы функции. Точки экстремума входят в число критических. Для непрерывных функций, имеющих производную по обе стороны от критической точки, далее исследуют знак производной. Если она положительна слева от критической точки и отрицательна справа, то функция в этой точке достигает максимума. Если производная отрицательна слева от критической точки и положительна справа, то функция в этой точке имеет минимум.
Находят участки, где функция выпукла вверх и где она выпукла вниз (см. Выпуклые функции). Если на некотором промежутке вторая производная функция отрицательна, то функция здесь выпукла вверх. Если положительна – функция выпукла вниз на этом участке.
Исследуя функцию, находят также точки перегиба функции, т.е. такие точки, по обе стороны от которых направление выпуклости функции неодинаково.
Находят уравнения асимптот функции, если они существуют, и проводят асимптоты на координатной плоскости.
Теперь остается начертить сам график: соединить нанесенные на координатную плоскость точки линией, учитывая ее возрастание или убывание, выпуклость вверх или вниз, а если есть асимптоты – подвести к ним ветви графика, показывая их сближение с асимптотами.
Чтобы уточнить график, нередко вычисляют значения функции в каких-либо точках, отыскивают точки пересечения графика с координатными осями и т.д. В некоторых случаях график функции можно построить по заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (или сжатия), преобразования симметрии (см. Геометрические преобразования).
С помощью параллельного переноса вдоль оси Ox или оси Oy по заданному графику функции y=f(x) можно построить графики функций y = f(x+a) (рис. 3) и y = f(x)+b (рис. 4). С помощью растяжения или сжатия по оси Ox или оси Oy можно построить график функции y = f(kx) (рис. 5) и y = mf(x) (рис. 6). Для построения графика функции y = mf(kx+a)+b последовательно применяют вышеуказанные преобразования. График функции g = y(x) = f-1(x), обратный функции y=f(x), симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла (рис. 7). График функции y = -f(x) может быть получен из графика функции y=f(x) отражением относительно оси Ox (рис. 8), а график функции f(-x) - из графика функции f(x) отражением относительно оси Oy (рис. 9). График функции y = |f(x)| получается отражением относительно оси Ox частей графика y=f(x) при y < 0 (рис. 10).
Если y=f(x) периодическая функция с периодом T, то достаточно построить часть ее графика для 0 ≤ x ≤ T, и тогда весь график функции получается переносом построенной части вдоль оси абсцисс на отрезки kT (рис. 11). График функции y = 1/f(x) получается из графика функции y=f(x) заменой каждой ординаты y величиной ей обратной 1/y (рис. 12).
Графики функций часто используются для приближенного решения уравнений (например, f(x) = 0 в точках x1,x2,x3, рис. 13), систем уравнений и неравенств. Например, при решении уравнения вида f(x) = g(x) строятся графики функций y=f(x) и y = g(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями уравнения (рис. 14). Те участки оси Ox на которых график y=f(x) лежит выше графика y = g(x) являются решениями неравенства f(x) > g(x) (рис. 14).
ГЕОМЕТРИЯ КОМБИНАТОРНАЯ
На рис. 1 каждый из шести кругов имеет общую точку с кругом, расположенным внутри; при этом никакие два круга не имеют общих внутренних точек. А на рис. 2 имеется восемь квадратов, каждый из которых также имеет общую точку с внутренним квадратом (и снова фигуры попарно не имеют общих внутренних точек). А можно ли вокруг некоторой выпуклой фигуры таким же образом расположить девять равных ей фигур, полученных из исходной с помощью параллельного переноса? Ответ отрицателен, хотя доказать это и непросто.
Рис. 1
Рис. 2
Рассмотренный вопрос относится к комбинаторной геометрии новой ветви математики, сформировавшейся лишь в XX в. Она занимается различными задачами, связанными с взаимным расположением нескольких фигур (чаще всего выпуклых), с разрезанием фигур на части, с освещением границы фигуры несколькими источниками света и т. п. При этом всегда ставится экстремальная задача: найти наибольшее число выпуклых фигур, расположенных так, как говорилось выше (рис. 1, 2), найти наименьшее число параллельных световых пучков, освещающих всю границу выпуклого тела (рис. 3), и т. п. Различных постановок комбинаторно-геометрических задач очень много, причем, как правило, они легко формулируются, но решение каждой из них требует огромных усилий.