В XIX в. в распоряжении математиков было уже несколько конкретных действий: сложение действительных чисел, умножение чисел, сложение векторов, умножение (или, лучше сказать, композиция) геометрических преобразований, умножение перестановок (т.е. преобразований конечного множества) и др. При этом оказалось, что свойства этих математических действий во многом похожи. Например, и операция сложения чисел, и сложения векторов, и умножения чисел, и композиции геометрических преобразований обладают свойством ассоциативности (сочетательности). Постепенно возникла абстракция второй ступени, т.е. абстракция уже сформировавшихся математических понятий первой ступени: математики стали отвлекаться от конкретного вида складываемых (или перемножаемых) элементов, т.е. от того, что складывается, а обращали внимание лишь на то, что в некотором множестве задано сложение и это действие обладает определенными свойствами (ассоциативности и др.). Это и привело к возникновению понятия группы.
Расскажем подробно об этом понятии. Свойства сложения действительных чисел хорошо известны:
1) a + (b+c) = (a+b) + c для любых a,b,c (ассоциативность);
2) a + b = b + a для любых a,b (коммутативность);
3) существует такое число 0, что a+0=a для любого a (существование нуля);
4) для любого a существует такое число -a, что a+(-a)=0 (существование противоположного элемента).
Точно такими же свойствами обладает сложение векторов:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Далее, операция умножения, если ее рассматривать в множестве всех отличных от нуля действительных чисел, также имеет аналогичные свойства:
1) a(bc)=(ab)c (ассоциативность);
2) ab=ba(коммутативность);
3) существует такое число 1, что a·1=a для любого a;
4) для любого a(a≠0) существует такое число a-1, что a·a-1=1.
А вот операция композиции движений (см. Геометрия) обладает лишь тремя из этих свойств:
1) h∘(g∘f)=(h∘g)∘f для любых движений f,g,h;
2) существует такое движение e (тождественное преобразование), что f∘e=f, e∘f=f для любого движения f;
3) для любого движения f существует обратное движение f-1, удовлетворяющее соотношениям f∘f-1=e, f-1∘f=e. Коммутативность же, т.е. соотношение g∘f=f∘g для движений, вообще говоря, места не имеет.
Теперь будет понятно следующее определение: множество G, в котором задана некоторая операция, сопоставляющая двум элементам a,b из G некоторый элемент a*b того же множества G, называется группой, если выполнены следующие свойства:
I) a*(b*c)=(a*b)*c для любых a,b,c из G;
II) существует такой элемент e∈G (единица, или нейтральный элемент группы G), что a*e=a и e*a=a для любого a∈G;
III) для любого a∈G существует такой элемент a-1∈G (обратный элемент), что a*a-1=e, a-1*a=e;
если, кроме того, для любых a,b из G справедливо соотношение
IV) a*b=b*a, то группа G называется коммутативной (или абелевой).
Из сказанного выше ясно следующее: 1) множество R всех действительных чисел, в котором рассматривается операция сложения, является группой (и притом абелевой); 2) множество R2 всех векторов на плоскости с имеющейся в нем операцией сложения является абелевой группой; 3) множество всех отличных от нуля действительных чисел, в котором рассматривается операция умножения, является абелевой группой; 4) множество всех движений плоскости, в котором рассматривается операция композиции, является группой, но не абелевой (т.е. не коммутативной).
В чем польза от введения такой «абстракции второй ступени», какой является группа? Ответ можно сформулировать так. Доказав на основе аксиом 1-4 некоторую теорему теории абелевых групп, мы сможем утверждать, что эта теорема будет справедлива и для действительных чисел, и для векторов, и для любой другой абелевой группы.
Это позволит, один раз доказав теоремы об абелевых группах, применять их в теории относительности, в кристаллографии, в ядерной физике, т.е. во всех областях, где появляются группы.
Свои первые применения понятие группы нашло в алгебре. Особенно интересной была теория, созданная французским математиком Э. Галуа.
В геометрии важную роль играют группы самосовмещений фигур. Если F - некоторая фигура на плоскости (или в пространстве), то можно рассмотреть множество GF всех тех движений плоскости (или пространства), при которых фигура F переходит в себя. Это множество является группой (см. Геометрические преобразования). Например, для равностороннего треугольника T группа движений плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: поворотов на углы 0,2π/3,4π/3 вокруг точки O и симметрий относительно трех прямых. Они изображены на рис. 1 красными линиями. Элементы группы самосовмещений правильного треугольника могут быть заданы и иначе. Чтобы пояснить это, пронумеруем вершины правильного треугольника T числами 1, 2, 3. Любое самосовмещение f треугольника T переводит точки 1, 2, 3 в те же самые точки, но взятые в ином порядке, т.е. f может быть условно вписано в виде одной из таких скобок: