Скобки вида (1) называются подстановками из трех элементов 1, 2, 3. Перемножение подстановок (соответствующее композиции движений) легко проследить. Например, при первой из подстановок (1) вершина 1 переходит в 2, а при второй подстановке (1) эта вершина 2 переходит в 3, т. е. в результате последовательного выполнения этих подстановок вершина 1 переходит в 3. Проследив это и для других вершин, находим, что произведение первой и второй подстановок (1), т. е. результат их последовательного выполнения, представляет собой 3-ю из этих подстановок.
Еще одним примером конечной группы может служить группа Zm, элементами которой являются вычеты по модулю m (см. Сравнения).
Например, группа Z2 состоит из двух элементов, один из них – множество всех четных чисел, а другой – множество всех нечетных. Если первый из этих элементов обозначить через 0, а второй – через 1 (т.е. 0 - «чет», 1 - «нечет»), то в соответствии с правилом сложения по модулю 2 мы имеем: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0. Можно это записать в виде «таблицы сложения» в группе Z2:
Расскажем о способах, которыми задаются различные группы. Наиболее известно описание группы с помощью образующих и соотношений. Системой образующих некоторой группы G называется такое подмножество ее элементов, что любой элемент группы G можно представить в виде произведения некоторых степеней этих образующих элементов. Рассмотрим, например, паркет, изображенный на рис. 2, и обозначим через G группу всех самосовмещений этого паркета (без учета цветной раскраски). В частности, в группе G содержится симметрия s относительно точки A и поворот g на 2π/3 вокруг точки B. Можно проверить, что любое самосовмещение рассматриваемого паркета представляется в виде произведения (композиции) некоторых степеней элементов s и g (например, поворот вокруг точки D на 2π/3 записывается в виде g∘s∘g2∘s∘g, а параллельный перенос на вектор 
- в виде s∘g2∘s∘g. Иначе говоря, s и g составляют систему образующих для группы G. Между этими образующими есть равенства, которым эти образующие удовлетворяют: s2=e, g3=e и др. Алгебраически группа G полностью определяется указанием образующих s,g и соотношений между ними.
Рис. 2
В топологии, например, рассматриваются различные узлы (рис. 3) и для каждого узла определяется некоторая группа, называемая группой узла. Если узел изображен так, как на рис. 4 (с разрывами, показывающими пространственное расположение частей нити узла друг относительно друга), то за систему образующих группы узла можно принять дуги a1,a2,a3,a4,a5, остающиеся неразорванными при таком изображении, а соотношения между этими образующими выписываются для каждой точки перекрещивания нитей узла (для этого надо задать какое-нибудь направление обхода на узле и выписывать соотношения по правилу, показанному на рис. 5). Так, для простейшего узла (его называют трилистником, рис. 6) его группа имеет три образующие a1,a2,a3, между которыми имеются соотношения:
a2a3-1a2-1a1 = e, a3a1-1a3-1a2 = e, a1a2-1a1-1a3 = e.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Устанавливается, что эта группа алгебраически отлична от группы узла на рис. 7, и различие этих групп служит математическим доказательством того, что узел на рис. 6 невозможно «развязать», т.е., деформируя его, превратить в ровную линию без узлов (рис. 7). На рис. 8 и 9 изображены узлы, составленные из 2 или 3 замкнутых нитей. И в этих случаях, рассмотрев группу узла, можно доказать, что эти узлы не могут быть развязаны, т.е. нити, составляющие узел, невозможно развести, не разрывая их.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Мы рассказали о некоторых применениях понятия группы в различных вопросах алгебры и геометрии и упомянули о том, что в любой из областей знания, где встречаются группы, можно применять теоремы о группах (один раз доказав эти теоремы, исходя из аксиом группы). В чем же состоят эти теоремы? Рассмотрим одну из них.
Прежде всего приведем определение подгруппы. Пусть G – некоторая группа и H - подмножество множества G. Если H само является группой (относительно той операции умножения, которая имеется во всей группе G), то H называется подгруппой группы G. Например, Z (множество всех целых чисел) является подгруппой группы R всех действительных чисел с операцией сложения. И еще один пример: группа G самосовмещений орнамента на рис. 2 является подгруппой группы всех движений плоскости. Это пример так называемой кристаллографической группы. Некоторая подгруппа G' группы всех движений плоскости называется кристаллографической группой, если существует такой многоугольник M (фундаментальная область группы G'), что всевозможные многоугольники, в которые переходит M при движениях, принадлежащих группе G', заполняют всю плоскость и попарно не имеют общих внутренних точек. Для группы G фундаментальными областями являются параллелограммы, которые, будто кристаллики, заполняют плоскость (рис. 10).