«Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами». И. Ньютон
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных чисел» - чисел с несколькими «мнимыми единицами». Такую систему чисел, имевших вид a + bi + cj + dk, где i2 = j2 = k2 = -1, построил в 1843 г. ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Правила действий над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, ij = k, a ji = -k..
С операциями, свойства которых лишь отчасти напоминают свойства арифметических операций, математики XIX в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский математик А. Кэли ввел общую операцию умножения матриц и изучил ее свойства. Оказалось, что к умножению матриц сводятся и многие изучавшиеся ранее операции. Английский логик Дж. Буль в середине XIX в. начал изучать операции над высказываниями, позволявшие из двух данных высказываний построить третье, а в конце XIX в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над множествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что как операции над высказываниями, так и операции над множествами обладают свойствами коммутативности (переместительности), ассоциативности (сочетательности) и дистрибутивности (распределительности), но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.
Таким образом, в течение XIX в. в математике возникли разные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, матриц, высказываний, множеств и т.д. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно поэтому формулы, которые в VI классе устанавливают для рациональных значений букв, оказываются верными и для любых действительных (и даже любых комплексных) значений тех же букв. Одинаковыми оказались и правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к созданию абстрактного понятия композиции, т.е. операции, которая каждой паре (a,b) элементов некоторого множества X сопоставляет третий элемент c того же множества. Композициями были сложение и умножение как натуральных, так и любых целых, а также рациональных, действительных и комплексных чисел, «умножение» матриц, пересечение и объединение подмножеств некоторого множества U и т.д. А вычитание и деление в множестве натуральных чисел не являются композициями, так как и разность, и частное могут не быть натуральными числами.
Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача алгебры - изучение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются. Иными словами, алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах законов композиции, свойствах операций. При этом два множества, в каждом из которых заданы композиции, стали считаться тождественными с точки зрения алгебры (или, как говорят, «изоморфными»), если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композициями изоморфны, то, изучая одно из них, мы узнаем алгебраические свойства другого.
Поскольку совокупность различных множеств с заданными в них законами композиции необозрима, были выделены типы таких множеств, которые хотя и не изоморфны друг другу, но обладают общими свойствами композиции. Например, изучив свойства операций сложения и умножения в множествах рациональных, действительных и комплексных чисел, математики создали общее понятие поля – множества, где определены эти две операции, причем выполняются их обычные свойства. Исследование операции умножения матриц привело к выделению понятия группы, которое является сейчас одним из важнейших не только в алгебре, но и во всей математике.
В наши дни алгебра – одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.