Рис. 2
«Художнику необходима математика его искусства. Учение о перспективе - это и вожатый, и врата; без него ничего хорошего в живописи создать невозможно». Леонардо да Винчи
«Рисунок предмета - это сечение конуса, состоящего из прямых, проведенных из глаза художника к различным точкам изображаемого предмета». С. Г. Гульд
Следует заметить, что в проективной геометрии понятие треугольника нуждается в уточнении. Собственно говоря, надо прежде всего уточнить понятие отрезка. Проективную прямую следует себе мыслить как замыкающуюся через свою бесконечно удаленную точку, и пара точек определяет на прямой два отрезка (с точки зрения евклидовой геометрии, отрезок и его дополнение - пару лучей). Как всегда, проверка правильности определения производится при помощи центральной проекции. Ясно, что если точки A,B переходят в A',B' и какая-то точка отрезка AB уходит при проектировании на бесконечность, то AB переходит при проектировании во внешность отрезка A'B', т.е. действительно, в проективной геометрии отрезки и их внешности нельзя различать. Соответственно три точки A,B,C на проективной плоскости (не лежащие на одной прямой) определяют 4 треугольника. Впрочем, для теоремы Дезарга это несущественно, так как в ней фактически фигурируют лишь вершины и прямые, на которых лежат стороны.
Мы обсудили ситуацию с взаимным положением точек и прямых в проективной геометрии. А как обстоит дело с другими фигурами? Например, окружность при центральном проектировании, хотя и не остается окружностью, все же не искажается «бесконтрольно»: она всегда изображается коническим сечением (эллипсом, гиперболой или параболой). Проективная геометрия открыла новую эпоху в изучении конических сечений. Одну из первых теорем в этом направлении доказал Б. Паскаль (1623-1662) в возрасте 16 лет: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, лежат на одной прямой (рис. 3). Заметим, что центральная проекция позволяет свести случай произвольного конического сечения к случаю окружности.
Рис. 3
О замечательных работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля забыли на полтора века. Новая жизнь проективной геометрии началась с работ французских математиков Г. Монжа (1746-1818) и его ученика Ж. Понселе (1788-1867). Последний задумался над вопросом, почему эллипсы обычно пересекаются в четырех точках, а окружности - только в двух. Он обнаружил, что мы не замечаем двух других точек пересечения в случае окружностей, поскольку они являются не только бесконечно удаленными, но и мнимыми. Таким образом в геометрии появились комплексные числа.
Дальнейшее развитие проективной геометрии состояло в том, что геометры находили соотношения, не изменяющиеся при центральном проектировании. Очень непросто было обнаружить числовые соотношения, обладающие этим свойством, ведь расстояния изменяются существенно. Оказывается, что если взять четыре точки B,C,D,E на одной прямой (см. рисунок выше) и составить так называемое сложное, или двойное отношение четырех точек BD·DE/CD·BE, то оно не будет изменяться при центральных проектированиях и их композициях - проективных преобразованиях (см. Геометрические преобразования). Не нужно опасаться, что некоторые из приведенных здесь расстояний могут принимать бесконечные значения: если бесконечность есть в числителе, то она есть и в знаменателе, и нужно условиться формально сокращать их. Двойное отношение четырех точек A,B,C,D равно величине
которая называется двойным отношением четырех прямых OA, OB, OC, OD, проходящих через одну точку O (оно также сохраняется при проективных преобразованиях).
Для каждого понятия и утверждения проективной геометрии, в котором участвуют точки, прямые, а также конические сечения, можно построить двойственное утверждение, в котором роль точек будут играть прямые и наоборот, а принадлежность точек прямым сохраняется; при этом множеству точек конического сечения будет двойственно множество всех касательных к коническому сечению прямых. Например, теореме Паскаля (рис. 3) двойственна такая теорема Брианшона (рис. 4): три прямые, соединяющие вершины шестиугольника, описанного вокруг конического сечения, пересекаются в одной точке. Конфигурация Дезарга из 10 точек и 10 прямых (рис. 2) двойственна самой себе.
Рис. 4
Обобщения понятия проективной плоскости - конечные проективные плоскости, n-мерные (вещественные и комплексные) проективные пространства - в наши дни широко применяются в различных разделах математики и ее приложениях - комбинаторике, теории алгебраических кривых и поверхностей.
ПРОЕКЦИЯ
Проекцию фигуры (или тела) в пространстве можно представить себе как тень, отбрасываемую этой фигурой. За этим наглядным образом стоит несколько различных понятий: прямоугольная, или ортогональная, проекция, параллельная проекция, центральная проекция и др. Эти понятия широко используются в геометрии и других разделах математики, черчении, архитектуре и изобразительном искусстве, технике, географии, физике и астрономии. Не случайно и слово «проекция» и слово «проект» происходят от латинского слова projectio - «бросание вперед». Составляя описание будущего здания, сооружения, механизма - его проект, чертят план или общий вид - проекцию.
Определения разных видов проекций совпадают в одном: проекция фигуры - это множество проекций всех отдельных точек фигуры; при этом, конечно, разные точки могут проектироваться в одну.
В школьном курсе математики и в техническом черчении мы прежде всего встречаемся с прямоугольной проекцией. Пусть на плоскости задана прямая l. Проекцией точки M на прямую l называется основание M' перпендикуляра MM', проведенного из M к этой прямой. Например, проекцией круга на прямую в его плоскости будет всегда отрезок, равный по длине диаметру этого круга. Проекция на ось Ox точки (x,y) - это точка с координатой x; таким образом, проекцией графика функции y=f(x) на ось Ox служит область определения этой функции на ось Oy - множество ее значений (рис. 1,а). Проекция отрезка AB на ось Ox - отрезок длины AB·cos α, а на оси Oy - отрезок длины AB·sin α, где α - величина угла между прямой AB и осью Ox (рис. 1,б).