Но все эти результаты очень мало говорят о самом числе π(n). Математикам хотелось получить для π(n) какую-нибудь достаточно простую приближенную формулу. Первая гипотеза о величине π(n) была сделана независимо французским математиком А. Лежандром и К. Гауссом около 1800 г. Она заключалась в том, что π(n) ≈ n/ln n. Однако доказать это утверждение удалось лишь 100 лет спустя.
Большой вклад в разработку этого доказательства внес П. Л. Чебышев, а окончательный результат был получен в 1896 г. французским математиком Ж. Адамаром и бельгийским математиком Ш. Валле-Пуссеном. Кроме того, в 1852 г. Чебышев доказал предположение французского математика Ж. Бертрана о том, что для любого натурального числа n между числами n и 2n всегда есть простое число.
ПРОЦЕНТ
Процентом называется сотая доля числа. Для чего нужны проценты и почему для этого введен специальный термин?
Прежде чем ответить на эти вопросы, попробуем ответить на другой: много ли соли в морской воде? Конечно, можно налить в ведро морскую воду, поставить его на огонь и, подождав, пока вся вода испарится, собрать и взвесить оставшуюся соль. Можно ли утверждать, что у другого человека получится столько же? Видимо, нет. Его ведро может оказаться больше или меньше, оно может быть налито более или менее полно; в результате получится другое количество соли. Таким образом, наша мера солености морской воды (количество граммов соли на ведро воды) оказалась неудачной.
Возьмем другую меру - количество граммов соли на 1 кг раствора. Для этого нужно до кипячения взвесить раствор, а потом массу полученной соли разделить на массу раствора. Пусть масса раствора 8,4 кг, а масса соли 21 г. Тогда получаем ответ: 2,5 г соли на 1 кг раствора. Если опыт повторить, то получится почти такая же величина.
Но почему число граммов в килограмме, а не центнеров в тонне или английских фунтов в пуде? Давайте считать число граммов в грамме, тогда, тот же ответ получится, если считать число тонн в тонне или число пудов в пуде. При этом удобно записывать результат в виде десятичной дроби, поскольку десятичные дроби удобнее сравнивать между собой по величине.
Но с какой точностью находить отношение? С помощью карандаша и бумаги мы можем делить до миллионных долей, однако точность первоначальных чисел зависит от точности приборов, с которых они были получены: весов, вольтметров, спидометров и т.д. Как правило, верными можно считать лишь первые две цифры показаний этих приборов. В результате будем получать 0,27, 0,64, 0,37 и другие сотые доли числа, т.е. проценты. Была придумана и специальная запись - 27%, 64%, 37%.
Проценты были известны индийцам еще в V в. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на тысячу лет позже, их ввел бельгийский ученый С. Стевин. В 1584 г. он впервые опубликовал таблицу процентов.
Введение процентов оказалось удобным не только для оценки содержания одного вещества в другом. В процентах стали измерять изменение производства товара, рост денежного дохода и т.д.
Со временем люди научились извлекать из вещества его компоненты, составляющие тысячные доли от массы самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нуль и запятую, ввели новую величину – промилле - тысячную долю, которую обозначили знаком ‰ и вместо 0,6% стали писать 6‰. Однако эту величину постоянно применяют лишь в некоторых областях техники, а в большинстве случаев используют десятые и сотые доли процента. Так, содержание соли в морской воде составляет 0,25%, или 2,5‰.
РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ
При вычислении площадей многоугольников используется простой прием, называемый методом разбиения. Рассмотрим многоугольники F и H, изображенные на рис. 1, где показано, как разбить эти многоугольники на одинаковое число соответственно равных частей (равные части отмечены одинаковыми цифрами). О многоугольниках F и H говорят, что они равносоставлены. Вообще, многоугольники A и B называются равносоставленными, если, определенным образом разрезав многоугольник A на конечное число частей, можно, располагая эти части иначе, составить из них многоугольник B. Легко видеть, что справедлива следующая теорема: равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь, или, как говорят, равновелики. Например, параллелограмм равносоставлен с прямоугольником (рис. 2), и потому, зная формулу площади прямоугольника, находим, что площадь параллелограмма равна произведению длин его стороны и соответствующей высоты.
Рис. 1
Рис. 2
Этот пример иллюстрирует метод разбиения, состоящий в том, что для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простой многоугольник, площадь которого нам уже известна. Например, треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (рис. 3); из этого легко выводится формула площади треугольника. Этот способ вычисления площадей многоугольников был известен еще Евклиду, который жил более 2000 лет назад.
Рис. 3
Замечательно, что для приведенной выше теоремы справедлива и обратная теорема: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Эту теорему, доказанную в первой половине XIX в. венгерским математиком Ф. Бойяи и немецким офицером и любителем математики П. Гервином, можно пояснить так: если имеется пряник в форме многоугольника и многоугольная коробка совершенно другой формы, но той же площади, то можно так разрезать пряник на конечное число кусков, что их удастся вложить в эту коробку.
В связи с теоремой Бойяи-Гервина возникает вопрос о наложении дополнительных ограничений на число или расположение частей, из которых составляются равновеликие многоугольники. Например, представим себе плоскость в виде листа цветной бумаги, у которого одна сторона красная, а другая - белая. Если из такой бумаги вырезаны два равновеликих красных многоугольника, то возникает вопрос, можно ли один из них разрезать на части, из которых удастся сложить красный многоугольник, равный второму. Части разрешается перекладывать, не переворачивая их на белую, изнаночную сторону. Ответ на этот вопрос также утвердителен.
Вариант этой задачи был предложен на одной из московских математических олимпиад в следующей шуточной форме. Чудак-кондитер испек торт (а у торта, в отличие от пряника, верхняя сторона покрыта кремом) в форме разностороннего треугольника. Сделали и коробку к торту, но по недосмотру склеили ее неверно, так что торт и коробка оказались симметричными друг другу (рис. 4). Нужно (по возможности экономно) разрезать торт на части, которые удалось бы уложить в эту коробку. Разумеется, части торта нельзя укладывать кремом вниз.
Рис. 4
Интересный результат, связанный с наложением дополнительных требований на расположение частей, был получен в 1952 г. швейцарскими математиками Г. Хадвигером и П. Глюром: равносоставленность двух равновеликих многоугольников может быть установлена при помощи таких разбиений, в которых соответствующие части имеют параллельные стороны. На первый взгляд это кажется даже неправдоподобным: трудно поверить, что два равных треугольника, повернутые друг относительно друга на произвольный угол (рис. 5), всегда можно разбить на равные части с соответственно параллельными сторонами. Тем не менее существует такое разбиение этих треугольников, что части, на которые разбит один треугольник, получаются из соответствующих частей второго треугольника параллельными переносами или центральными симметриями. То же справедливо для любых двух равновеликих многоугольников. Однако одними только параллельными переносами частей обойтись не удается. Например, как бы мы ни разрезали параллелограмм на части, невозможно параллельными переносами составить из этих частей треугольник.