Энциклопедический словарь юного математика

Рис. 5

Интерес к этим вопросам был пробужден знаменитым докладом «Математические проблемы», который был прочитан выдающимся математиком Д. Гильбертом на Втором Международном конгрессе математиков, состоявшемся на рубеже XIX и XX вв. Из двадцати трех поставленных Гильбертом проблем большинство относится к новым, быстро развивающимся разделам математики. И лишь одна проблема – третья - связана с вопросами школьной геометрии. Гильберт обращает внимание на то, что при вычислении объема треугольной пирамиды еще со времен Евклида используется довольно сложный предельный переход (см. Предел) (а в настоящее время - интегрирование), тогда как при вычислении площади треугольника мы обходимся без аналогичного предельного перехода. Существо проблемы Гильберта состоит в том, чтобы обосновать использование этого «лишнего» (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, т.е. доказать, что без него теория объемов многогранников не может быть построена. В 1900 г. М. Ден решил третью проблему Гильберта, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Гильберт предвидел, что этот вопрос может привести к созданию математически интересной и богатой результатами теории равносоставленности многоугольников и многогранников. Предвидение Гильберта блестяще оправдалось; красивое здание современной теории равносоставленности является достойным памятником ученому.

РАДИКАЛ

Радикалом (или знаком корня) называют знак , применяемый для обозначения операции извлечения корня n-й степени из некоторого числа; корень n-й степени из числа a обозначается . При n = 2 показатель корня опускают и пишут  вместо . Корень второй степени обычно называют квадратным корнем, а корень третьей степени - кубическим корнем.

При извлечении корня четной степени из неотрицательного (действительного) числа a запись  обозначает арифметический корень из числа a (т.е. такое неотрицательное число b, что bⁿ = a). При извлечении корня из комплексного числа знак  применяют для обозначения любого из n корней n-й степени из числа z или совокупности всех n корней.

Название «радикал» происходит от латинских слов radix - «корень», radicalis - «коренной». Начиная с XIII в. европейские математики обозначали корень этим словом, или, сокращенно, г. В 1525 г. в книге К. Рудольфа «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс» появилось обозначение V для знака квадратного корня, корень кубический обозначался там как VVV. В 1626 г. голландский математик А. Жирар ввел обозначение ,  и т.д., которое стало быстро вытеснять знак r; при этом над подкоренным выражением ставилась горизонтальная черта. Тогда писали  вместо современного . Современное обозначение корня впервые появилось в книге Р. Декарта «Геометрия», изданной в 1637 г.

Приближенное значение квадратных корней из целых чисел умели находить еще в Древнем Вавилоне около 4 тыс. лет назад. При этом вавилонские ученые пользовались следующим методом: число a представляли в виде суммы b²+c, где c мало по сравнению с b², и полагали √a = b + c/2b. Например:

(пример взят из вавилонской клинописной таблички). Для сравнения укажем более точное значение корня √(1700) = 41,23105. Заметим, что такой способ приближенного извлечения квадратного корня часто называют вавилонским методом извлечения квадратного корня.

РАЗВЕРТКА

Допустим, что многогранник - многогранную поверхность - после проведения разрезов по нескольким ребрам удается развернуть на плоскость. В результате получается развертка многогранника. Развертка представляет собой плоский многоугольник, составленный из меньших многоугольников - граней исходного многогранника. Так, на рис. 1 изображены развертки всех пяти видов правильных многогранников. По ним легко восстановить, склеить соответствующие многогранники; обычно на развертках указывают, какие именно пары сторон развертки нужно склеивать для получения исходного многогранника.

Рис. 1

Один и тот же многогранник может иметь несколько разных разверток. Например, правильный тетраэдр имеет и треугольную развертку, которая даже более удобна для склейки тетраэдра: достаточно согнуть три угловых треугольника (рис. 2). Аналогичная развертка произвольного тетраэдра представляет собой в общем случае шестиугольник с попарно равными соседними сторонами (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Развертки (или части разверток) применяют при изготовлении моделей различных многогранников. Пример-склейка «треугольных» (правильнее говорить «тетраэдрических») молочных пакетов. Эти пакеты не являются правильными тетраэдрами: правильные тетраэдры плохо укладываются в молочные корзины. Молочные пакеты представляют собой равногранные тетраэдры с четырьмя ребрами примерно по 17 см и двумя ребрами по 13 см. Внимательно рассмотрев пакет, вы увидите, что он склеен из... прямоугольника, получающеюся при разрезании тетраэдра по двум меньшим ребрам и большей высоте одной из граней. Легко представить обратную процедуру: как показано на рис. 4, сначала прямоугольник склеивается в цилиндр (точнее, в боковую поверхность цилиндра), а потом вдоль взаимно перпендикулярных диаметров оснований в тетраэдрический пакет. Конечно, технологически это осуществить проще, чем склейку пакета из треугольника, - не потребуется даже никаких клапанов для склейки.

Рис. 4

 «Он же, не смутясь нимало.

 Развернул пазы и петли.

 Стал вертеть их так и эдак,

 Пока все вдруг не предстало

 В виде плоскостей, квадратов,

 Точно сложная фигура

 Из Эвклидова трактата».

    Л. Кэррол

Развертки помогают решать задачи на отыскание кратчайшего пути (по поверхности фигуры) из одной точки в другую. Например, чтобы из всех путей вида AKB, ведущих по поверхности куба из вершины A в противолежащую вершину B (рис. 5,а), выбрать кратчайший, достаточно развернуть две соседние грани и соединить точки A и B отрезком прямой (рис. 5,б). Кратчайший путь будет проходить через середину M ребра CD (всего таких путей будет 6 - по числу разделяющих точки A и B ребер куба). Обратите внимание: точно так же решается и задача о кратчайшем «перевале» через ребро любого двугранного угла (рис. 6).