За основание системы счисления можно принять не только числа 10 или 60, но и любое натуральное число p, большее 1. Для записи чисел в p-ичной системе счисления нужно p цифр. Число, записанное цифрами ak,ak-1,...,a0 в p-ичной системе, равно akpk + ak-1pk-1 + ... + a0. Например: 3267 = 3·72 + 2·7 + 6 (индекс 7 означает, что число записано в семеричной системе). Если число записано в десятичной системе счисления, а его надо перевести в p-ичную систему, то делят это число на p с остатком. Потом делят на p с остатком неполное частное и т.д. до тех пор, пока не получится неполное частное, равное нулю. Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая первым, получаем искомую p-ичную запись нашего числа. Например, из того, что 29 = 4·6+5, а 4 = 0·6+4, вытекает, что 29 = 456.
Операции над натуральными числами в p-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Особенно простой вид эти таблицы имеют для двоичной системы счисления.
Еще в XVII в. немецкий математик Г. В. Лейбниц предложил перейти на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 106 = 11010102. Однако в нашем веке, когда были созданы ЭВМ, оказалось, что для выполнения арифметических операций на этих машинах самой удобной является именно двоичная система счисления (см. Языки программирования).
СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА
В Древней Греции число называли совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число). Например:
6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Указанные три числа - первые совершенные числа. Они, как и все остальные известные совершенные числа, четны. Еще древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. указывал, что четные совершенные числа могут быть получены в виде 2p-1(2p-1) в том случае, если число 2p-1 простое. Простые числа вида 2p-1 стали называть простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М. Мерсенна (1588-1648), много занимавшегося совершенными числами. Л. Эйлер показал, что этими числами исчерпываются все четные совершенные числа.
К настоящему времени числа вида 2p-1 проверены на простоту для всех p до 50000. В результате обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна, самое большое из которых получается при p=132049. Это число с 39751 десятичным знаком. Соответствующее ему совершенное число 286242(286242-1) имеет 79502 десятичных знака. Итак, известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного совершенного числа, хотя в поисках такого числа проверены все числа до 1050. Также неизвестно, конечно ли количество совершенных чисел.
СОФИЗМЫ
Софизм - доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до н.э., достигших большого искусства в логике.
Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное – то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.
А вот два математических софизма. «Докажем», что все числа равны между собой.
Пусть a и b - произвольные числа и пусть a>b, тогда существует такое положительное число c, что a=b+c. Умножим это равенство на a-b и преобразуем полученное равенство:
a2-ab=ab+ac-b2-bc,
a2-ab-ac=ab-b2-bc,
a(a-b-c)=b(a-b-c).
Разделив обе части полученного равенства на (a-b-c), получим, что a=b. Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число (a-b-c), которое равно нулю.
А вот «доказательство» того, что все треугольники - равнобедренные.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 1). Проведем в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки O опустим перпендикуляр OD на сторону AB и перпендикуляр OE на сторону BC. Очевидно, что OA=OC и OD=OE. Но тогда прямоугольные треугольники AOD и COE равны по катету и гипотенузе. Поэтому
Рис. 1
Итак, угол BAC равен углу BCA, поэтому треугольник ABC - равнобедренный: AB=BC.
Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника.
И еще один пример софизма. Посмотрим на рис. 2. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого - 65. И здесь ошибка в чертеже! Точки B,E,F и D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки - той самой лишней клетки.
Рис. 2
СПИРАЛИ
Спирали - плоские кривые линии, многократно обходящие одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Такая форма кривой делает естественной запись ее уравнения в полярных координатах r = f(φ), где функция f монотонно увеличивается или монотонно уменьшается с увеличением угла φ, значения которого рассматриваются уже не на отрезке [0,2π], а, как правило, для всех действительных значений φ.
Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся спиралей.
Спираль Архимеда. Полярное уравнение архимедовой спирали, изученной древнегреческим математиком Архимедом, имеет вид r = aφ. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2πa (рис. 1,а).
Рис. 1
По спирали Архимеда идет, например, на грампластинке звуковая дорожка. Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращения вокруг полюса.
Металлическая пластина с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку - имеет форму спирали Архимеда.