Рис. 2
Если провести на сфере три большие окружности (рис. 3), то сфера разобьется на восемь треугольников. В отличие от планиметрии сумма углов любого сферического треугольника больше 180°, или π, причем она не постоянна, а зависит от площади треугольника. А именно площадь треугольника на сфере радиуса 1 связана с суммой его углов A, B и C формулой Жирара (А. Жирар - нидерландский математик, 1595-1632):
SABC = A+B+C - π
(углы A, B, C измеряются в радианах).
Рис. 3
Для сферических треугольников справедливы три известных в планиметрии признака равенства: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по трем сторонам. На сфере справедлив еще один признак равенства треугольников - по трем углам. Подобных, но не равных между собой сферических треугольников не существует. Для сферических треугольников, однако, остаются справедливыми многие теоремы планиметрии, например теоремы о пересечении в одной точке серединных перпендикуляров к сторонам, биссектрис внутренних углов, медиан и даже высот, лишь с той разницей, что эти линии дают сразу по две диаметрально противоположные точки пересечения. Теоремы косинусов и синусов в сферической геометрии приобретают несколько необычный вид: для треугольника ABC с углами A,B,C и противолежащими сторонами соответственно a, b и c (напомним, что стороны измеряются как соответствующие центральные углы):
cos c = cos a·cos b + sin a·sin b·cos C (теорема косинусов)
и
Сферическая геометрия представляет собой своеобразный мост между планиметрией и стереометрией, так как сферические многоугольники получаются в пересечении сферы с многогранными углами с вершинами в центре сферы, сферические окружности - в пересечении сферы с коническими поверхностями и т.д. (рис. 4). Все теоремы о сферических треугольниках можно переформулировать в терминах трехгранных углов; в частности, две последние формулы часто называют теоремами косинусов и синусов для трехгранного угла (рис. 5).
Рис. 4
Рис. 5
Интересно, что исторически эти теоремы предшествовали аналогичным теоремам плоской тригонометрии, поскольку потребность людей в знаниях по астрономии, необходимых для исчисления времени, возникла прежде других потребностей человека, связанных с измерением углов. Исходя из геоцентрической гипотезы Вселенной, древнегреческие астрономы рассматривали Землю как шар, находящийся в центре небесной сферы, которая равномерно вращается около своей оси. При изучении закономерностей движения светил возникли многочисленные математические задачи, связанные со свойствами сферы и фигур, которые образуют на ней большие окружности.
Автором первого капитального сочинения о «сферике» - так называли сферическую геометрию древние греки - был, по-видимому, математик и астроном Евдокс Книдский (ок. 408-355 гг. до н.э.). Но самым значительным произведением была «Сферика» Менелая Александрийского, греческого ученого, жившего в I в., который обобщил результаты своих предшественников и получил большое количество новых результатов. Построена его книга аналогично «Началам» Евклида, и долгое время она служила учебником для астрономов. В IX-XIII вв. «Сферика», переведенная на арабский язык, внимательно изучалась математиками Ближнего и Среднего Востока, откуда в XII в., в переводе с арабского, стала известна в Европе.
Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съемках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать ее шарообразность.
ТЕОРЕМА
Теорема - высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма величин углов произвольного треугольника равна 180°. Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник, измерить транспортиром величины его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180° (во всяком случае, в пределах той точности измерения, которую допускает транспортир). Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой.
В формулировках теорем, как правило, встречаются слова «если..., то...», «из... следует...» и т.д. В этих случаях для сокращения записи используют знак
Рис. 1
Аналогичным образом могут быть записаны и другие геометрические теоремы: сначала идет разъяснительная часть теоремы (описывающая, какие точки или фигуры рассматриваются в теореме), а затем - два утверждения, соединенные знаком
Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной. Например, для рассмотренной выше теоремы обратной будет следующая: (для любых точек A,B,M) (точка M принадлежит оси симметрии точек A и B)
Однако из того, что некоторая теорема верна, не всегда следует, что обратная ей теорема также верна. Например, теорема: (точка C не принадлежит прямой AB)
Рис. 2
Таким образом, доказав некоторую теорему, мы еще не можем утверждать, что верна и обратная теорема. Справедливость обратной теоремы требует отдельного доказательства.
В алгебре примерами теорем могут служить различные тождества, например равенства:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
a2-b2 = (a+b)(a-b),