an - bn = (a-b)(an-1+ an-2b + an-3b2 +...+ abn-2 + bn-1).
Они выводятся (доказываются), исходя из аксиом, и потому являются теоремами. Другим примером теорем в алгебре может служить теорема Виета о свойствах корней квадратного уравнения.
Большую роль в математике играют так называемые теоремы существования, в которых утверждается лишь существование какого-либо числа, фигуры и т.п., но не указывается, как это число (или фигура) могут быть найдены. Например: всякое уравнение xn + a1xn-1 + a2xn-2+...+ an-1x + an = 0 с действительными коэффициентами имеет при нечетном n хотя бы один действительный корень, т.е. существует число x0∈R, являющееся корнем этого уравнения.
Некоторым видам теорем дают особые названия, например лемма, следствие. Они имеют дополнительный оттенок. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе мало интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называют утверждение, которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного.
Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы называть гипотезой. Например, «великая теорема Ферма» (см. Ферма великая теорема), утверждающая, что уравнение xn + yn = zn не имеет целых положительных решений при n>2, пока не доказана.
Наряду с аксиомами и определениями теоремы являются основными типами математических предложений. Важные факты каждой математической науки (геометрии, алгебры, теории функций, теории вероятностей и т.д.) формулируются в виде теорем. Однако овладение математикой не сводится к тому, чтобы изучить аксиомы, определения и основные теоремы. Математическое образование включает также умение ориентироваться в богатстве фактов математической теории, владение основными методами решения задач, понимание лежащих в основе математики идей, умение применять математические знания при решении практических задач.
Не менее важны пространственное представление, навыки графического «видения», умение находить примеры, иллюстрирующие то или иное математическое понятие, и т.д. Таким образом, теоремы составляют только формальный «остов» математической теории, и знакомство с теоремами представляет собой лишь начало глубокого овладения математикой.
ТЕТРАЭДР
Тетраэдр, или треугольная пирамида, - простейший из многогранников, подобно тому как треугольник - простейший из многоугольников на плоскости. Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra - «четыре» и hedra - «основание», «грань». Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами - точками A,B,C,D, не лежащими в одной плоскости; грани тетраэдра - четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть. В отличие от произвольной n-угольной пирамиды (при n≥4) в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань.
Многие свойства тетраэдров сходны с соответствующими свойствами треугольников. В частности, 6 плоскостей, проведенных через середины ребер тетраэдра перпендикулярно к ним, пересекаются в одной точке. В этой же точке O пересекаются и 4 прямые, проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и O является центром описанной около тетраэдра сферы (рис. 1). Аналогично 6 биссекторных полуплоскостей тетраэдра, т. е. полуплоскостей, делящих двугранные углы при ребрах тетраэдра пополам, тоже пересекаются в одной точке - в центре вписанной в тетраэдр сферы - сферы, касающейся всех четырех граней тетраэдра. Любой треугольник имеет, вдобавок к вписанной, еще 3 вневписанные окружности (см. Треугольник), а вот тетраэдр может иметь любое число – от 4 до 7 - вневписанных сфер, т.е. сфер, касающихся плоскостей всех четырех граней тетраэдра. Всегда существуют 4 сферы, вписанные в усеченные трехгранные углы, один из которых показан на рис. 2, справа. Еще 3 сферы могут быть вписаны (не всегда!) в усеченные двугранные углы при ребрах тетраэдра - один из них показан на рис. 2, слева.
Рис. 1
Рис. 2
Для тетраэдра существует еще одна возможность его взаимного расположения со сферой - касание с некоторой сферой всеми своими ребрами (рис. 3). Такая сфера - иногда ее называют «полувписанной» - существует лишь в том случае, когда суммы длин противоположных ребер тетраэдра равны: AB + CD = AC + BD = AD + BC (рис. 3).
Рис. 3
Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке. Именно, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке - в центроиде тетраэдра (рис. 4). Через центроид M проходят также 3 «средние линии» - отрезки, соединяющие середины трех пар противоположных ребер, причем они делятся точкой M пополам. Наконец, через M проходят и 4 «медианы» тетраэдра - отрезки, соединяющие вершины с центроидами противолежащих граней, причем они делятся в точке M в отношении 3:1, считая от вершин.
Рис. 4
Важнейшее свойство треугольника - равенство ∠A + ∠B + ∠C = 180° (или π) - разумного «тетраэдрического» аналога не имеет: сумма всех 6 двугранных углов тетраэдра может принимать любое значение между 2π и 3π. (Конечно, сумма всех 12 плоских углов тетраэдра - по 3 при каждой вершине - не зависит от тетраэдра и равна 4π.)
Треугольники принято классифицировать по степени их симметричности: правильные или равносторонние треугольники имеют три оси симметрии, равнобедренные - одну. Классификация тетраэдров по степени симметричности богаче. Самый симметричный тетраэдр - правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии - они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру - и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис. 5). Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (3 плоскости симметрии, рис. 6) и равногранные тетраэдры (т.е. тетраэдры с равными гранями - 3 оси симметрии, рис. 7).
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
В заключение приведем две формулы для вычисления объема тетраэдра. Они не очень похожи на известные формулы для площади треугольника, но некоторую аналогию можно все-таки проследить.
1) VABCD = 1/3 SABC ·hD,
где высота hD в данном случае есть расстояние от вершины D до плоскости грани ABC.
2)
где (∠AB) - двугранный угол при ребре AB. Есть и другие формулы для вычисления объема тетраэдра.
ТОЖДЕСТВО
Тождество - запись вида A = B, где A и B - выражения, принимающие одинаковые значения при всех значениях входящих в A и B переменных, взятых из некоторого множества M.
Например, равенство
(m2 - n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)2
является тождеством (на множестве всех действительных чисел). Это тождество позволяет построить бесконечно много прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Например, при m = 2, n = 1 получаем: 32 + 42 = 52, а при m = 3, n = 2 получаем: 52 + 122 = 132. Равенство