m3 + n3 = (m+n)(m2 - mn + n2)
также является тождеством на множестве всех действительных чисел; из него вытекает, в частности, что при целых m и n число m3 + n3 делится нацело на m + n.
Будет ли равенство A = B тождеством, зависит от того, из какого множества выбираются значения переменных. Например, равенство √x2 = x является тождеством на множестве всех неотрицательных действительных чисел, но не является тождеством на множестве всех действительных чисел.
Обычно в качестве множества M возможных значений переменных рассматривают множество всех тех значений переменных, при которых оба выражения A и B имеют смысл. Отметим, что это соглашение требует известной осторожности при обращении с тождествами. Например, согласно, этому соглашению равенства √x2 = (√x)2 и (√x)2 = x являются тождествами, а равенство √x2 = x тождеством не является. Если выражения A и B тождественно равны, то это записывают формулой A ≡ B.
ТОПОЛОГИЯ
Топология - одна из математических наук, возникшая во второй половине XIX в. Она изучает тс свойства геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью понятия непрерывности.
Идеи топологии можно пояснить следующим образом. Отображение f, переводящее фигуру A в некоторую другую фигуру B, непрерывно, если оно не имеет разрывов, т.е., грубо говоря, если «близкие» между собой точки фигуры A переходят в результате этого отображения в «близкие» точки фигуры B. Например, проектирование фигуры в плоскость (рис. 1) представляет собой непрерывное отображение (см. Геометрические преобразования). Приведем другой пример: если фигура A, будто резиновая, произвольным образом без разрывов деформируется, изгибаясь, растягиваясь или сжимаясь, после чего деформированная фигура A укладывается каким-то образом в фигуру B (возможно, со склеиваниями, т.е. так, что различные части фигуры A накладываются на одну и ту же часть фигуры B), то в результате мы получаем непрерывное отображение фигуры A в фигуру B.
Рис. 1
Отображение f фигуры A на всю фигуру B называется гомеоморфизмом (от греческих слов homoios - «подобный», «одинаковый» и morphe - «вид», «форма»), если оно происходит без разрывов и без склеиваний, т.е. не только отображение f, но и обратное отображение f-1 являются непрерывными. Например, буквы Г, Л, М, П, С (если они изображены тонкими линиями без «хвостиков») гомеоморфны между собой. Буквы Е, У, Т, Ч, Ш, Ц, Э также гомеоморфны между собой, но не гомеоморфны указанным ранее буквам. Буква О не гомеоморфна никакой другой букве русского алфавита. В качестве другого примера укажем, что треугольник, квадрат (и вообще любой выпуклый многоугольник) гомеоморфны кругу - углы многоугольника можно «вдавить» и сделать округлыми (рис. 2). Далее, поверхности шара, куба, цилиндра - все они гомеоморфны между собой. Однако эти поверхности не гомеоморфны тору - фигуре, которую можно наглядно представить себе как поверхность баранки или автомобильной шины. Поверхность гири гомеоморфна тору.
Рис. 2
Поучительно сравнить понятие гомеоморфизма и понятие равенства фигур. В геометрии рассматриваются отображения, сохраняющие расстояние между точками. Они называются движениями, или перемещениями. В результате движения каждая фигура перекладывается на новое место как твердое целое, без изменения расстояний. Две фигуры, которые переводятся одна в другую (совмещаются) с помощью движения, называются равными и рассматриваются как одинаковые, как не отличающиеся (с геометрической точки зрения) друг от друга. В топологии рассматриваются отображения более общие, чем движения, а именно гомеоморфные отображения. Две гомеоморфные между собой фигуры рассматриваются (с топологической точки зрения) как одинаковые, не отличающиеся друг от друга. Те свойства фигур, которые сохраняются при гомеоморфных отображениях, называются топологическими свойствами фигур; эти свойства и изучаются в топологии.
Одно из давно известных топологических свойств связано с именем Л. Эйлера. В топологии рассматриваются графы - фигуры, состоящие из конечного числа дуг. В графе имеется несколько вершин, и некоторые из них соединены непересекающимися дугами. Граф называется уникурсальным (или эйлеровым), если его можно «нарисовать одним росчерком», т.е. пройти его весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды. Свойство графа быть уникурсальным является топологическим свойством. Можно доказать, что граф в том, и только в том, случае уникурсален, если в каждой его вершине, кроме, может быть, двух, сходится четное число ребер. С уникурсальными графами связана «задача о кенигсбергских мостах», рассмотренная Эйлером. В то время в Кенигсберге (ныне г. Калининград) было 7 мостов через реку Преголь. Вопрос состоит в том, можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост точно по одному разу. Сопоставим с планом города граф, в котором вершина Л обозначает левый берег, П - правый берег, А и В острова, а ребра графа соответствуют мостам (рис. 3, вверху справа). В этом графе в каждой вершине сходится нечетное число ребер, и потому граф не уникурсален, т.е. требуемого маршрута прогулки не существует.
«Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой». Р. Курант
Еще одно интересное топологическое свойство графа - вложимость в плоскость. Один пример графа, невложимого в плоскость (домики и колодцы), строится следующим образом. На плоскости даны шесть точек Д1,Д2,Д3 (домики) и K1,K2,K3 (колодцы); можно ли на плоскости провести тропинки от каждого домика к каждому колодцу, так чтобы никакие две тропинки не пересекались? Ответ отрицательный: если мы проведем все тропинки, кроме одной, то для последней тропинки уже не будет места на плоскости. Таким образом, этот граф невложим в плоскость. Другой пример графа, невложимого в плоскость, дан в правом нижнем углу рис. 3 (каждые две из пяти вершин соединены ребром); на этом рисунке два ребра пересекаются. Интересно отметить, что графы, о которых идет речь, являются «эталонами» графов, невложимых в плоскость: любой граф, невложимый в плоскость, содержит хотя бы один из них. Это было доказано польским математиком К. Куратовским (1896-1980).
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ
(1896-1982)
П. С. Александров - один из создателей топологии - нового большого направления в современной математике, Герой Социалистического Труда (1969), лауреат Государственной премии СССР (1943), академик (1953).
П. С. Александров прожил большую и яркую жизнь. Он родился в семье врача, в г. Богородске (ныне Ногинск) Московской области. Уже к 14 годам он нашел в математике свое призвание, но, кроме того, очень хорошо знал и любил литературу (особенно поэзию), театр, музыку.
В 1913 г. П. С. Александров становится студентом математического отделения Московского университета. На следующий год он впервые встречается с представителем нового в те годы теоретико-множественного направления - Н. Н. Лузиным и сразу становится его близким учеником. Уже через год, в 19 лет, П. С. Александров, решая задачу, поставленную Н. Н. Лузиным, доказывает теорему о мощности так называемых борелевских множеств и сразу выдвигается в первые ряды московских математиков. Следующая предложенная ему Н. Н. Лузиным задача - так называемая континуум-проблема (см. Множество) - была одной из труднейших математических задач того времени. Относительно неудачная попытка ее решить (как стало ясно в дальнейшем, континуум-проблема и не могла быть решена в круге идей и методов школы Лузина) заставила П. С. Александрова усомниться в своих математических способностях. Он становится режиссером в театре, заведует театральной секцией отдела народного образования, читает лекции по литературе и музыке. Но этот период - лишь краткий эпизод в жизни П. С. Александрова: уже в 1921 г. он возвращается в Московский университет, чтобы никогда его не покидать.