Самый плодотворный период в жизни П. С. Александрова период, когда он вместе с П. С. Урысоном создает основы топологии. В 1921-1924 гг. ими сделан фундаментальный вклад в основы теоретико-множественной топологии; в 1925-1926 гг. П. С. Александров создает теорию гомологий общих топологических пространств, позволившую применить алгебраические методы к задачам теоретико-множественной топологии. За эти работы П. С. Александрова в 1929 г. избирают в члены-корреспонденты Академии наук СССР. С 1929 г. П. С. Александров - профессор Московского университета, а с 1932 г. - президент Московского математического общества. Впоследствии ученый разработал гомологическую теорию размерности, окончательно закрепившую за Александровым репутацию одного из первых математиков тех лет.
Павлу Сергеевичу Александрову принадлежит заслуга в создании научной школы. Человек огромного личного обаяния, высочайшей разносторонней культуры, он обладал способностью буквально притягивать к себе молодых талантливых людей.
------------------------------------------
Если же граф вложим в плоскость, то он разбивает плоскость на
Из топологических свойств, связанных с поверхностями, упомянем два. Первое из них (теорема Эйлера) утверждает, что для связного графа, начерченного на сфере (или гомеоморфной ей поверхности), справедливо равенство
B - P + Г = 2,
где В - число вершин, Р - число ребер графа, а Г - число областей (граней), на которые этот граф разбивает сферу. В частности, это соотношение справедливо для любого выпуклого многогранника.
Другой пример - «теорема о еже»: если из каждой точки поверхности сферы растет «колючка» (ненулевой вектор) и направления «колючек» от точки к точке меняются непрерывно, то найдется хотя бы одна «колючка», направленная перпендикулярно к сфере. Иначе говоря, причесать такого «сферического ежа», чтобы он нигде не кололся, невозможно.
ЛЕВ СЕМЕНОВИЧ ПОНТРЯГИН
(1908-1988)
Л. С. Понтрягин - советский математик, академик. Герой Социалистического Труда. Академик П. С. Александров так отозвался о бывшем своем ученике: «Л. С. Понтрягин, уже ранее зарекомендовавший себя несколькими блестящими работами...выступает как ученый, создавший свое собственное направление в математике и являющийся в настоящее время, бесспорно, самым крупным (в международном масштабе) представителем так называемой топологической алгебры, то есть совокупности вопросов, пограничных между алгеброй и топологией».
Не прост был путь Л. С. Понтрягина в математику. В 14 лет вследствие несчастного случая он лишился зрения. Лишь благодаря своей воле, мужеству и упорному труду он сумел успешно окончить школу и поступить на физико-математический факультет Московского университета. В эти трудные дни мать стала ему незаменимым помощником, читала вслух учебники и научные статьи.
Посещая семинар П. С. Александрова, он увлекся топологическими проблемами, которым посвятил многие годы своего научного творчества. В 1938 г. он написал труд «Непрерывные группы», за который ему была присуждена Государственная премия. Почти сразу же книгу издали за рубежом.
В начале 50-х гг. Л. С. Понтрягин и его ученики обратились к новому направлению исследований, связанному с математическим решением некоторых технических проблем. Вскоре ими был открыт «принцип максимума», ставший универсальным и действенным математическим средством поиска оптимальных режимов для тех или иных процессов: для наивыгоднейшего расходования топлива при запуске ракеты, для наиболее экономичной работы ядерного реактора, для наилучшей схемы электропривода и т.д. Вначале «принцип максимума» был лишь гипотезой. Доказать ее удалось ученикам Л. С. Понтрягина: в линейном случае доказательство было найдено Р. В. Ганкрелидзе, а в общем случае В. Г. Болтянским. Открытие «принципа максимума» привело к созданию новой области математики теории оптимального управления. В 1961 г. Л. С. Понтрягин и его ученики обобщили свои достижения в новой монографии, удостоенной Ленинской премии.
Сильная тренированная память, справлявшаяся с громоздкими формулами и выражениями, позволяла Л. С. Понтрягину успешно выполнять глубокие теоретические исследования, не прибегая к бумаге. Им опубликовано свыше 150 работ. В 1958 г. его избрали академиком.
За плодотворную научную деятельность Л. С. Понтрягину присвоено звание Героя Социалистического Труда, он награжден четырьмя орденами Ленина, а также другими орденами и медалями.
Научную деятельность Л. С. Понтрягин сочетал с активным интересом к преподаванию. Его учебник по дифференциальным уравнениям, не раз издававшийся в СССР и за рубежом, удостоен Государственной премии. Специально для школьников он написал несколько книг из серии «Знакомство с высшей математикой».
------------------------------------------
Разумеется, все это лишь отдельные наглядные примеры топологических фактов. В наши дни топология - большая, обстоятельная наука, в которой изучаются глубинные свойства геометрических фигур. Проблема четырех красок (см. Комбинаторика, Графы), узлы, зацепления (рис. 4-6), природа линий и поверхностей и многое другое изучается в топологии. Даже так называемая основная теорема алгебры (см. Многочлен) является в действительности топологической теоремой. Современная топология находит ряд интересных и важных приложений в других разделах математики, в физике, например в электротехнике, в теории жидких кристаллов, в молекулярной биологии, в космогонии и т.д.
Рис. 4. Схема морского узла.
Для того, чтобы определить степень сцепления двух узлов, вводится понятие коэффициента зацепления. На рис. 5 он равен 0, а на рис. 6 -1.
Рис. 5
Рис. 6
ТРЕУГОЛЬНИК
Простейший из многоугольников – треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах» - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX-XX вв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования.