За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.
В треугольнике ABC выделяют 6 основных элементов - 3 (внутренних) угла A,B,C и 3 соответственно противолежащие им стороны a, b и c. Признаки равенства треугольников можно сформулировать так: треугольник однозначно (т.е. с точностью до равенства) восстанавливается по следующим тройкам основных элементов:
a, b и C; a, B и C; a, b и c.
Из школьного курса вам известны еще «три кита» евклидовой планиметрии - три признака подобия треугольников: треугольник с точностью до подобия восстанавливается по следующим парам величин:
a:b,C; a:b, b:c; A,B.
Заметим, что в признаках равенства нельзя взять любую тройку основных элементов, даже если один из них - сторона; на рис. 1 показано, например, что треугольник нельзя однозначно построить по элементам a, b и B: треугольники A1BC и A2BC имеют общие угол B и сторону BC = a, равные стороны A1C и A2C, но эти треугольники не равны.
Рис. 1
Кроме того, элементы треугольника нельзя задать произвольно, даже если их только три. Например, чтобы можно было построить треугольник по трем сторонам a, b и c, необходимо (и достаточно) (см. Необходимые и достаточные условия), чтобы выполнялись три «неравенства треугольника»:
a < b + c; b < a + c; c < a + b.
Углы треугольника связаны более жестким соотношением:
A + B + C = 180° (или π).
Анализируя первый и второй признаки равенства - по a, b, C или a, B, C, - мы приходим к выводу о том, что остальные элементы треугольника ABC, в частности сторона c, однозначно определяются имеющимися тремя элементами. Для стороны c соответствующие формулы даются теоремами косинусов и синусов:
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C и
где A = π - B - C.
Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий, простейшие из которых мы и рассмотрим. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около треугольника окружности (рис. 2). Этот факт следует из свойства серединного перпендикуляра d к отрезку: d состоит из тех, и только тех, точек, которые равноудалены от концов отрезка. Если для треугольника ABC серединные перпендикуляры к AB и BC пересекаются в точке O, то |OA| = |OB| и |OB| = |OC|, поэтому |OA| = |OC| и точка O обязана лежать на серединном перпендикуляре к третьей стороне AC.
Рис. 2
Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в треугольник окружности (рис. 3). Это следует из основного свойства биссектрисы l выпуклого угла: l состоит из тех, и только тех, точек угла, которые равноудалены от его сторон. Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получается еще три замечательные точки - центры вневписанных окружностей (рис. 4).
Рис. 3
Рис. 4
Радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей R, r, ra, rb и rc связаны красивым соотношением
ra + rb + rc = r +4R
а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей ρ можно найти по формуле Эйлера:
ρ2 = R2 -2Rr.
Здесь же приведем формулы для площади треугольника:
S = (abc)/4R = pr,
где p - полупериметр треугольника.
Среди свойств биссектрис треугольника выделяется такая теорема: биссектриса внутреннего (внешнего) угла C треугольника ABC делит противоположную сторону внутренним (внешним) образом в отношении, равном отношению прилежащих сторон; на рис. 5
AE:BE=AE':BE'=AC:BC.
Рис. 5
Все три медианы пересекаются в точке M (рис. 6), называемой центроидом треугольника ABC (который также является центром масс для тонкой треугольной пластины). Каждая медиана делится точкой M в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника. Высоты треугольника (или их продолжения) также пересекаются в одной точке H - ортоцентре треугольника (рис. 7).
Рис. 6
Рис. 7
Пусть высоты треугольника ABC пересекают соответственные стороны (или их продолжения) в точках A0, B0, C0 (рис. 7). Треугольник A0B0C0 называется ортоцентрическим для треугольника ABC или, коротко, его ортотреугольником. Оказывается, высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. Если треугольник ABC остроугольный, то ортотреугольник A0B0C0 вписан в треугольник ABC: вершины A0B0C0 лежат на соответствующих сторонах треугольника ABC. Справедлива замечательная теорема: среди всех треугольников, вписанных в остроугольный треугольник, ортотреугольник имеет наименьший периметр.
Теоремы о пересечении высот, медиан, биссектрис треугольника в действительности можно получить из общей «теоремы Чевы» (Д. Чева - итальянский математик, (1648-1734)): отрезки AQ, BR, CP, соединяющие вершины треугольника ABC с точками на противолежащих сторонах (рис. 8), пересекаются в одной точке D тогда, и только тогда, когда
AP·BQ·CR = PB·QC·RA.
Рис. 8
ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА
Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому - несколько составленных им геометрических задач.
Вот как можно сформулировать одну из них:
На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены как на основаниях равносторонние треугольники (рис. 1). Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.
Задача имеет довольно изящное решение. Пусть O1, O2 и O3 центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим отрезками прямых точки O1, O2 и O3 с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника ABC и между собой.
Рис. 1
По свойствам равностороннего (правильного) треугольника AO1 = O1B, BO2 = O2C, CO3 = O3A, ∠AO1B = ∠BO2C = ∠CO3A = 120°и ∠O1AO3 + ∠O1BO2 + ∠O2CO3 = 360°. Выделим шестиугольник AO1BO2CO3, а внешние к нему невыпуклыс четырехугольники отбросим. Получим фигуру, изображенную на рис. 2.
Рис. 2
Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники O1AO3 и O2CO3, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник O1DO2O3. Отрезок O1O2 делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DO2O3 и O1O2O3 равны 120° каждый. Поэтому углы O2O1O3 и O1O2O3 равны 60° каждый. Следовательно, треугольник O1O2O3 равносторонний, что и требовалось доказать.