Рис. 3
Задача эта может послужить отправным пунктом для небольшого геометрического исследования. Проверьте, будут ли центры равносторонних треугольников, построенных внутренним образом на сторонах произвольного треугольника как на основаниях, являться вершинами равностороннею треугольника.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в запись которых входят тригонометрические функции от неизвестного (см. Уравнения). При решении тригонометрических уравнений их обычно сводят к простейшим уравнениям вида R(x) = a, где R(x) - одна из основных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), a - некоторое число.
Простейшие тригонометрические уравнения
sin x = a и (1)
cos x = a (2)
при |a|>1 не имеют решений (рис. 1a, 2а), а при |a|≤1 имеют два корня на любом полуоткрытом промежутке длины 2π (совпадающие при |a| = 1 (рис. 1б, 2б). Все корни этих уравнений выписывают с помощью формул
x = (-1)k arcsin a + πk, k = 0,±1,±2,...,
для уравнения (1);
x = ± arccos a + 2πk,
для уравнения (2)
(рис. 1, 2) (см. Обратные тригонометрические функции).
Рис. 1
Рис. 2
Уравнение
tg x = a (3)
имеет при любом a один корень на любом полуоткрытом промежутке длины π, при этом
x = arctg a + πk, k ∈ Z.
Уравнение
ctg x = a (4)
также имеет при любом a один корень на любом полуоткрытом промежутке длины π, корни уравнения (4) задаются формулой
x = arcctg a + πk, k ∈ Z.
Уравнение вида R(g(x)) =a заменой переменной y = g(x) сводится к простейшему уравнению R(y) = a (R - одна из основных тригонометрических функций). Из этого уравнения можно найти значения yk, после чего останется решить уравнение замены g(x) = yk.
Решим уравнение sin 1/(x-2) = 0. Обозначая y = 1/(x - 2), получим 1/(x - 2) = πk, k = ±1,±2,...; x - 2 = 1/πk, x = 2 + 1/πk. Ответ: {2 + 1/πk; k = ±1,±2,...}.
Нередко замена y = R(x) сводит исходное уравнение к алгебраическому относительно R(x). После нахождения значений y1,y2,... остается решить простейшие уравнения R(x) = y1, R(x) = y2. Например, замена y = sin x сводит уравнение 1 - sin x - 2cos2 x = 0 к алгебраическому уравнению 2y2 - y - 1 = 0.
В случае, когда определен tg(x/2), справедливы формулы:
С помощью этих формул уравнение, связывающее значения sin x, cos x, tg xи ctg x, приводится к уравнению относительно t = tg(x/2). Отдельно надо рассмотреть случай, когда tg(x/2) не определен (т.е. cos (x/2) = 0).
Решим уравнение 2 sin x + cos x = ctg(x/2) - 1. Значения π + 2πk, k = 0,±1,±2,... при которых не определен tg(x/2), являются решениями уравнения (при таких x cos x = -1, sin x = 0, ctg (x/2) = 0 и 2·0-1 = 0-1). При остальных x можно воспользоваться формулами (5); обозначая tg(x/2) через t, получим:
откуда t = -1 или t = 1/3.
Ответ:
{π + 2πk; -π/2 + 2πk; 2arctg 1/3 + 2πk, k = 0,±1,±2,... }.
Уравнение вида
A cos x + B sin x = C, (6)
где A,B,C - некоторые числа, удобно решать с помощью введения вспомогательного аргумента по следующей схеме. Записывая уравнение (6) в виде
легко заметить, что
поэтому существует такой угол φ, что
Следовательно,
и мы получили простейшее уравнение относительно y = x - φ.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других. Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал Л. Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика.
Тригонометрические функции (от греческих слов trigonon - «треугольник» и metreo - «измеряю») - один из важнейших классов функций.
Чтобы определить тригонометрические функции, рассмотрим тригонометрический круг (окружность) с радиусом 1 и центром в начале координат (рис. 1). Если φ - угол между радиусами OC и OA, выраженный в радианах, 0 ≤ φ ≤ 2π (угол отсчитывается в направлении от OC к OA), то координаты точки A называются соответственно косинусом и синусом угла φ и обозначаются как x=cosφ и x=sinφ. Отсюда ясно, что |cos φ| ≤1, |sin φ| ≤1 и cos2 φ + sin2 φ=1.
Рис. 1
Для острых углов (0< φ <π/2) тригонометрические функции cos φ и sin φ можно рассматривать как отношения катета прямоугольного треугольника (прилежащего к углу и противолежащего углу соответственно) к гипотенузе (рис. 2), длина которой уже не обязательно равна единице. Исходя из этого определения, составим таблицу для значений тригонометрических функций некоторых углов; кроме того, ясно, что
cos 0 = sin π/2 = 1 и cos π/2= sin 0 = 0
Рис. 2
φ
π/6
π/4
π/3
sin φ
1/2
cos φ
1/2
Чтобы построить графики тригонометрических функций при 0 ≤ φ ≤ 2π, поступим следующим образом. Разделим тригонометрическую окружность на 16 равных частей и рядом разместим систему координат, как показано на рис. 3, где отрезок длиной 2π на оси Oφ также разделен на 16 равных частей. Проводя прямые линии параллельно оси Oφ через точки деления окружности, мы на пересечении этих прямых с перпендикулярами, восставленными из соответствующих точек деления отрезка [0,2π] на оси Oφ, получаем точки, координаты которых равны синусам соответствующих углов (рис. 3); отметим, что имеют место следующие приближенные равенства :
sin π/8 ≈ 0,4, sin π/4 ≈ 0,7, sin 3π/8 ≈ 0,9.