Энциклопедический словарь юного математика

Рис. 3

Если взять, скажем, не 16, а 32, 64 и т.д. точек, то можно построить сколь угодно много точек, лежащих на графике функции x=sinφ. Проводя через них плавную кривую, мы получим достаточно удовлетворительный график функции x=sinφ на отрезке [0,2π]. Для того, чтобы получить функцию x=sinφ, определенную на всей числовой прямой, сначала определяют ее на всех отрезках вида , n ≥ 1 - целое, т.е. полагая, что ее значения в точках  равны (0≤φ≤2π), а затем для отрицательных φ используют равенство sin(-φ) = -sinφ. Проделав все это, мы получим график, показанный на рис. 4. В итоге получается периодическая (с периодами 2πn, n - целое и n≠0), нечетная функция x=sinφ, которая определена при всех действительных значениях φ; ее область значений [-1,1].

Рис. 4

При определении функции y = cosφ (для всех φ) заметим сначала, что cosφ = sin(π/2-φ) для 0≤φ≤π/2, которое следует непосредственно из определения тригонометрических функций sin φ и cos φ. Так как функция x=sinφ уже нами определена при всех φ, мы положим по определению, что это равенство и задает функцию y = cosφ при всех φ. Из этого определения нетрудно получить и график функции y = cosφ, которая, очевидно, будет четной и периодической, так как ее график получается из графика функции x=sinφ путем параллельного переноса влево на отрезок длиной π/2, как единого целого графика функции x=sinφ (рис. 5).

Рис. 5

Простейший анализ (с помощью графика) показывает, что помимо отмеченной выше справедливы также следующие так называемые формулы приведения:

sin(φ+nπ) = ±sinφ, cos(φ+nπ)=±cosφ, sin(φ+nπ/2) = ±cosφ, cos(φ+nπ/2) = ∓sinφ.

В формулах первой строки n может быть любым целым числом, причем верхний знак соответствует , нижний знак - значению , а в формулах второй строки n может быть только нечетным числом, причем верхний знак берется при , а нижний - при , k - целое.

С помощью основных тригонометрических функций sin φ и cos φ можно определить другие тригонометрические функции - тангенс и котангенс:

tgφ = sinφ / cosφ,     ctgφ = cosφ / sinφ;

при этом тангенс определен только для таких значений φ, для которых cosφ≠0, т.е. для φ≠π/2+nπ, n = 0,±1,±2,..., а функция котангенс - для таких φ, для которых sinφ≠0, т.е. φ≠nπ, n = 0,±1,±2,.... Эти функции для острых углов могут быть также представлены геометрически направленными отрезками прямых (рис. 6):

tgφ=|AB|,     ctgφ=|CD|.

Рис. 6

Подобно синусу и косинусу, функции тангенс и котангенс для острых углов могут рассматриваться как отношения катетов: противолежащего к прилежащему для тангенса и прилежащего к противолежащему для котангенса. Графики функций y=tgφ и y=ctgφ показаны на рис. 7 и 8; как видно, эти функции являются нечетными, периодическими и имеют в качестве периода числа nπ, n=±1,±2,....

Рис. 7

Рис. 8

Важнейшие тригонометрические формулы - формулы сложения:

sin(φ₁±φ₂)=sinφ₁·cosφ₂±cosφ₁·sinφ₂,

,

;

знаки в левых и правых частях формул согласованы, т.е. верхнему знаку слева соответствует верхний знак справа. Из них, в частности, выводятся формулы для кратных аргументов:

sin2φ=2sinφ·cosφ,

cos2φ=cos²φ-sin²φ,

.

Сумму и разность тригонометрических функций можно представить в виде произведения тригонометрических функций (знаки в первой и четвертой формулах согласованы):

,

,

,

.

Произведение тригонометрических функций выражается через сумму следующим образом:

sinφ₁·cosφ₂ = 1/2[sin(φ₁+φ₂) + sin(φ₁-φ₂)],

sinφ₁·sinφ₂ = 1/2[cos(φ₁-φ₂) - cos(φ₁+φ₂)],

cosφ₁·cosφ₂ = 1/2[cos(φ₁+φ₂) + cos(φ₁-φ₂)].

Производные тригонометрических функций выражаются через тригонометрические функции (здесь и всюду в дальнейшем мы заменим переменную φ на x):

(sin x)' = cos x, (cos x)' = - sim x, (tg x)' = 1/cos²x, (ctg x)' = - 1/sin²x.

При интегрировании тригонометрических функций получаются тригонометрические функции или их логарифмы ( 0 < x < π/2, C - абсолютная постоянная):

, , , .

Основные тригонометрические функции u=cos x и v = sin x, как мы видели, связаны следующими соотношениями:

u' = -v, v' = u.

Дифференцируя вторично эти равенства, получаем:

u" = -v' = -u, v" = u' = -v.

Таким образом, функции u и v от переменной x могут рассматриваться как решения одного и того же (дифференциального) уравнения y"+y=0.

Это уравнение, а точнее - его обобщение, содержащее положительную постоянную k², y"+k²y=0 (решениями которого, в частности, служат функции cos kx и sin kx), постоянно встречается при изучении колебаний, т.е. при изучении конструкций механизмов, совершающих или производящих колебательные движения.

Функция cos x может быть представлена в виде бесконечного ряда 1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!.... Если взять несколько первых членов этого ряда, мы получим приближения функции cos x с помощью многочленов. На рис. 9 показано, как графики этих многочленов с ростом их степени все лучше приближают функцию cos x.

Рис. 9

Название «синус» происходит от латинского sinus - «перегиб», «пазуха» - представляет собой перевод арабского слова «джива» («тетива лука»), которым обозначали синус индийские математики. Латинское слово tangens означает «касательная» (см. рис. 6; AB - касательная к окружности). Названия «косинус» и «котангенс» представляют собой сокращения терминов complementi sinus, complementi tangens («синус дополнения», «тангенс дополнения»), выражающих тот факт, что cos φ и ctgφ равны соответственно синусу и тангенсу аргумента, дополнительного к φ до π/2: cosφ = sin(π/2-φ), ctgφ=tg(π/2-φ).

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии, однако тригонометрические функции, с помощью которых связываются элементы треугольника, - это объект изучения математического анализа, а тригонометрические уравнения - уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций, - изучаются методами алгебры. Таким образом, тригонометрия - раздел математики, использующий достижения других важных ее разделов.

Основные формулы тригонометрии задаются теоремой синусов (см. Синусов теорема) и теоремой косинусов (см. Косинусов теорема). Кроме них часто применяются теорема тангенсов, открытая в XV в. немецким математиком И. Региомонтаном,

, , ,

и формулы К. Мольвейде (немецкого математика конца XVIII - начала XIX в.):