Углы, меньшие прямого, называются острыми, а углы, большие прямого, но меньшие развернутого, - тупыми. Мера выпуклого угла заключена между 0° и 180° (или 0 и π), невыпуклого - между 180° и 360° (или между π и 2π). Удобно ввести в рассмотрение полный угол - угол, образуемый лучом OA при полном обороте около точки O, а также нулевой угол - угол, образованный двумя совпадающими лучами. Эти углы имеют меру - соответственно 360°= 2π рад и 0°= 0 рад. Иногда градус определяют как 1/360 часть полного угла.
В планиметрии рассматривают еще один тип углов - углы поворотов. Во-первых, они имеют знак: плюс, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и минус, если поворот - по ходу часовой стрелки. Поворот около точки O на угол α обозначается
Рис. 6
Чтобы сохранить эту удобную формулу при произвольных α и β, и чтобы можно было рассматривать механический процесс вращения, при котором в угол поворота целесообразно включить и проделанные полные обороты (на 360°), пришлось ввести углы поворотов произвольной величины (как больших 360°, так и меньших -360°). Тогда, например, при вращении точки P около точки O с постоянной угловой скоростью ω (рад/с) положение P в момент времени t дается формулой
Pt = ROωt(P) (рис. 7).
Рис. 7
Так введенные углы поворотов позволяют определить тригонометрические функции числового аргумента: в координатах Oxy для произвольного числа t полагают, что (cos t, sin t) - координаты точки Pt = RtO(PO), где PO - точка с координатами (1,0), а угол поворота t берется в радианах.
В стереометрии рассматриваются двугранные углы - части пространства, на которые оно разбивается двумя полуплоскостями (гранями угла), ограниченными общей прямой (ребром угла, рис. 8), и многогранные (n-гранные, где n≥3) углы - части пространства, ограниченные несколькими последовательно прилегающими друг к другу плоскими углами с общей вершиной. На рис. 9 изображен трехгранный угол OA1A2A3 с вершиной O, ребрами - лучами OA1, OA2, OA3 и гранями - плоскими углами A1OA2, A2OA3 и A3OA1.
Рис. 8
Рис. 9
Двугранные углы измеряются так же, как и отвечающие им линейные углы - плоские углы, получающиеся при пересечении двугранных углов плоскостями, перпендикулярными их ребрам (рис. 8). Для многогранных углов вводится телесная мера, аналогичная радианной мере плоских углов. Эта мера, измеряемая в стерадианах (стер), равна отношению площади сферического многоугольника, получающегося в пересечении многогранного угла со сферой с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 9). Например, угол комнаты «вырезает» из сферы октант - 1/8 ее часть, поэтому его телесная мера равна (4πR2/8) : R2 = π/2 (стер). Оказывается, телесная мера n-гранного угла OA1A2...An выражается через радианные меры его двугранных углов по формуле нидерландского математика XVII в. А. Жирара
Ω = A1 + A2 + ... + An - (n-2)π,
где Ai - величина (в радианах) двугранного угла при ребре OAi (i = 1,2,...,n).
Углом между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется угол между проведенными через одну точку параллельными a и b прямыми. Угол между пересекающимися прямыми - это наименьший из получающихся при пересечении плоских углов (т.е. углов между лучами). Аналогично определяется и угол между пересекающимися плоскостями. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90°. Углы между параллельными или совпадающими прямыми и плоскостями считаются равными 0°, так что все перечисленные в этом абзаце углы заключены в пределах от 0° до 90°.
УРАВНЕНИЕ
Уравнение - это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Решить уравнение - значит найти все значения неизвестных, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет.
В школьном курсе, как правило, рассматривают уравнения, в которых неизвестные принимают числовые значения. Числовое значение неизвестного, удовлетворяющее уравнению с одним неизвестным, называется корнем или решением этого уравнения. Набор чисел, удовлетворяющих уравнению с несколькими неизвестными, называется его решением.
В математике рассматривают также уравнения, в которых неизвестными являются целые числа (диофантовы уравнения), векторы (векторные уравнения), функции (дифференциальные, интегральные, функциональные уравнения) и объекты другой природы. Вместе с уравнением указывают его область определения (множество допустимых значений неизвестных); если это не сделано, то предполагается, что это естественная общая область определения выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения.
Уравнение одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины.
Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений окончательно сложилась в XVI в.; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z, …, а известные величины (параметры) - первыми a, b, c, ... идет от французского ученого Р. Декарта.
Обычный путь алгебраического (чаще говорят, аналитического) решения уравнения состоит в том, что с помощью преобразований его сводят к более простым уравнениям. Если все решения одного уравнения являются решениями другого, то второе уравнение называется следствием первого. Если каждое из двух уравнений - следствие другого (т.е. множества их решений совпадают), то такие уравнения называются равносильными. Применяя к обеим частям уравнения одно и то же преобразование, мы приходим к следствию этого уравнения. Если же это преобразование обратимо, то получается уравнение, равносильное данному. (Например, умножая обе части уравнения на одно и то же число, мы получаем следствие данного уравнения. Если это число отлично от нуля, то выполненное преобразование обратимо, так что полученное уравнение равносильно исходному).
Решая уравнение с одним неизвестным, мы пытаемся прийти к простейшим уравнениям, для решения которых есть готовые формулы. Эго линейные уравнения, квадратные уравнении, уравнения вида φ(x) = c, где c - число, а φ - одна из основных элементарных функций: степенная φ(x) = xn, показательная φ(x) = ax, логарифмическая φ(x) = loga(x), тригонометрические φ(x) = sin x, φ(x) = cos x, φ(x) = tg x.