Заметим, что запись общего решения уравнения φ(x) = c требует введения функции ψ, обратной к функции φ. Если φ(x) = xn, то
Как же сводятся уравнения к простейшим? Для конкретного типа уравнений (алгебраических, тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических и т.п.) разработаны частные приемы решения. Из общих методов решения уравнений остановимся на трех, которые встречаются чаще всего.
Если левую часть уравнения f(x) = 0 удается разложить на множители: f(x) = f1(x)·...·fm(x), то оно распадается на уравнения f1(x) = 0, f2(x) = 0, …, fm(x) = 0, объединение множеств их решений дает множество решений данного уравнения. Например, уравнение x3 - 7x + 6 = 0 можно решить так:
(x3 - x)-(6x - 6) = 0,
x(x - 1)(x + 1) - 6(x - 1)= 0,
(x - 1)(x2 + x - 6) = 0.
Решая уравнения x - 1 = 0 и x2 + x - 6 = 0, находим все корни данного уравнения: 1, 2 и -3. Этот метод принято называть методом разложения на множители.
Часто удается упростить уравнение, принимая в качестве новой неизвестной некоторую функцию от старой неизвестной. Например, уравнение sin x + cos x = sin 2x можно свести к квадратному уравнению, положив y = sin x + cos x.Тогда sin 2x = y2-1, и мы приходим к уравнению y2 - y - 1 = 0.
Иногда удается решить уравнение, анализируя функциональные свойства его левой и правой частей.
Например, так как левая часть уравнения 2x + 3x = 5 возрастает, а правая - постоянна, то это уравнение не может иметь более одного корня. Единственный корень x=1 легко угадывается.
Решая уравнение sin3 x + cos5x = √5, заметим, что при всех x выполняются неравенства sin3x ≤ sin2x, cos5x ≤ cos2x, откуда sin3 x + cos5 x ≤ sin2 x + cos2 x = 1, а так как √2 > 1, то данное уравнение не имеет корней.
До сих пор мы разбирали приемы решения уравнений, позволяющие найти корень уравнения как число или комбинацию известных функций от параметров. Однако далеко не все уравнения, возникающие на практике, можно решить подобным образом. Например, в начале XIX в. было доказано, что не существует общей формулы для решения алгебраических уравнений начиная с пятой степени. Да и в тех случаях, когда уравнение удается решить, формула для корней может быть чересчур громоздкой. Поэтому в математике разработаны различные методы приближенного решения уравнений. Простейший из них основан на том, что если функция f(x) непрерывна во всех точках отрезка [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение f(x) = 0 имеет на этом отрезке корень.
Приближенное решение уравнений тесно связано с построением графиков функций.
Например, построив график функции y = x3 + x, мы можем заключить, что уравнение x3 + x = 1 имеет один корень и этот корень лежит на отрезке [0,5;1], более точно - на отрезке [0,6;0,7], еще более точно - на отрезке [0,682;0,683] (рис. 1). Эта информация практически более полезна, чем точная формула Кардано, выражающая этот корень:
(все равно извлекать радикалы можно лишь приближенно). Для отыскания корней с любой степенью точности» существуют «быстрые» алгоритмы, основанные на методе последовательных приближений (см. Приближенные вычисления).
Рис. 1
С помощью графика особенно удобно проводить исследование уравнений; например, по графику y = x3 - x (рис. 2) мы сразу видим, что уравнение x3 - x = c имеет три корня при |c| < 2/√3, два - при |c| = 2/√3 и один - при |c| > 2/√3.
Рис. 2
ФАКТОРИАЛ
Так называют часто встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor - «сомножитель». Обозначается она n!. Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n. Например: n! = 1·2·3·4 = 24. Для удобства полагают по определению 0!=1. Особенно часто встречается факториал в комбинаторике. Например, количество способов выстроить n школьников в одну шеренгу равняется n!.
Функция n! растет с увеличением n очень быстро. Так, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5! = 120, …, 10! = 3628800.
Английский математик Дж. Стирлинг в 1730 г. предложил очень удобную формулу для приближенного вычисления функции n!:
Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа n.
ФЕРМА ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА
Натуральные числа x, y, z, удовлетворяющие уравнению x2 + y2 = z2 (они могут служить сторонами прямоугольного треугольника), называют пифагоровыми тройками. Таковы, например, числа 3, 4, 5. Математики Древней Греции знали все пифагоровы тройки (имеется и вавилонская клинописная табличка с пифагоровыми тройками). Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам:
x = m2 - n2, y = 2mn, z = m2 + n2,
где m и n - целые числа, причем m > n > 0.
До нас дошло сочинение древнегреческого математика Диофанта (вероятно, III в.), в котором, в частности, содержалось исследование пифагоровых троек. Французский математик П. Ферма написал на полях этой книги: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Другими словами, уравнение xn + yn = zn при n > 2 не имеет решений в натуральных числах x, y, z.
С этого высказывания начинается одна из самых волнующих историй в математике - история великой теоремы Ферма (так стали называть это утверждение). То, что Ферма не оставил доказательства, никого не удивило - он почти не оставил доказательств своих арифметических теорем.
Многие утверждения Ферма впоследствии доказал Л. Эйлер. Он попытался доказать и великую теорему Ферма. Вначале Л. Эйлер разобрал случай n = 4 (это доказательство было и у Ферма) и лишь через 20 лет, в 1768 г., прибавил случай n = 3 (да и то с пробелами). Лишь более чем через полвека, в 1825 г., французским математиком А. Лежандром (1752-1833) и немецким математиком П. Дирихле (1805-1859) была доказана справедливость утверждения П. Ферма для n = 5. Нетрудно понять, что случай n = 6 сводится к n = 3 и вообще, кроме случая n = 4, достаточно рассматривать лишь простые показатели n. Вскоре, в 1839 г. усилиям французского математика Г. Ламе (1795-1870) поддался случай n = 7, одно время даже казалось, что он вывел общий случай, но обнаружилась ошибка.