Самые серьезные исследования великой теоремы Ферма связаны с именем немецкого математика Э. Куммера (1810-1893). В 1843 г. он предложил доказательство, в котором была ошибка, но затем он постепенно исправлял ее. Его доказательство содержало достаточные условия для n, при выполнении которых для этого n теорема справедлива. Вначале эти условия были столь трудно проверяемы, что не удавалось прибавить ни одного показателя к уже известным. Затем они упростились, и теорема была доказана разом для всех n из первой сотни, исключая n = 37,59,67. Однако и с этими исключениями вскоре удалось справиться. К концу жизни Э. Куммер уже не рассчитывал доказать теорему в полном объеме, он лишь хотел доказать ее справедливость для бесконечного множества простых показателей, но и этого до сих пор не удалось доказать.
В 1934 г. американский математик Г. Вандивер упростил условия Э. Куммера, и в этом варианте они (при помощи ЭВМ) в последнее время проверены для всех простых n < 100000.
А как же доказательство П. Ферма, которое «не уместилось на полях»? С одной стороны, Ферма не допускал ошибок в высказываниях, а с другой стороны, кажется невероятным, что самые блестящие математические умы за три столетия не обнаружили рассуждения, на которое намекал Ферма. Нет даже ни одной убедительной реконструкции ошибочного рассуждения, которое П. Ферма мог принять за доказательство. Более того, все разобранные случаи, начиная с n = 3, требуют применения методов, совершенно неизвестных Ферма. По тем же причинам, по-видимому, обречены на неудачу многочисленные попытки любителей найти ее доказательство. Но великая теорема Ферма сослужила добрую службу, хотя само это утверждение занимает довольно изолированное положение в математике. В процессе ее доказательства Э. Куммер придумал теорию идеальных чисел - одну из самых удивительных и плодотворных математических теорий.
Интересное продвижение в решении великой теоремы Ферма получено в 1983 г. нидерландским математиком Г. Фалтингсом (см. Диофантовы уравнения).
ПЬЕР ФЕРМА
(1601-1665)
Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрел славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов еще не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди них были Р. Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие. Он соперничал с французским ученым Р. Декартом в создании аналитической геометрии, общих методов решения задач на максимум и минимум. Его приемы построения касательных к кривым, вычисления площадей криволинейных фигур, вычисления длин кривых прокладывали дорогу к созданию дифференциального и интегрального исчислений. С переписки П. Ферма и Б. Паскаля отсчитывает свою историю теория вероятностей. Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). Однако больше всего прославили Ферма работы по теории чисел.
Математики Древней Греции со времен Пифагора коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах, иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими исключениями). Лишь древнегреческий математик Диофант (III в. н.э.) написал книгу «Арифметика», в которой были и отрицательные числа, и элементы символики, но, прежде всего, многочисленные факты о решении в целых числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (их стали называть диофантовыми). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI в., а в 1621 г. она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.
Ученый постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел - арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики». Заметки и письма - вот и все, что осталось от занятий Ферма арифметикой. Ферма обнаружил, что число 2p-1-1 при простом p всегда делится на p (см. Ферма малая теорема), а число
Ферма занимают «невозможные» задачи - задачи, не имеющие решений. Он обнаружил, что нельзя найти прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, у которого площадь - точный квадрат. Самое знаменитое утверждение о «невозможности» - великая теорема Ферма. С работ Ферма началась новая математическая наука - теория чисел.
------------------------------------------
ФЕРМА МАЛАЯ ТЕОРЕМА
Знаете ли вы об удивительном свойстве, которым обладают числа, составленные из одних девяток? Каково бы ни было простое число p, отличное от 2 и 5, всегда можно указать такое число, составленное из одних девяток - 9999...99, - что оно будет делиться на p. Так, на 3 делится 9, на 7 - число 999999, на 11 - число 99, на 13 - опять-таки число 999999. Чтобы получить число, делящееся на 17, придется взять число из 16 девяток, на 19 - число из 18 девяток. И всегда можно быть уверенным, что нужное число найдется, хотя и может оказаться очень длинным.
На чем основано доказательство этого факта? Дело в том, что при делении с остатком на p может встретиться конечное число различных остатков: 0,1,2,...,p-1. Поэтому найдутся два числа из девяток (пусть одно - из l девяток, а другое - из m девяток, l > m), такие, что оба они при делении на p дают один и тот же остаток. Тогда число из l-m девяток будет делиться на p. Заметим, что обсуждаемое утверждение равносильно тому, что для всякого простого p, не равного 2 и 5, существует число вида 1000...00 (единица с нулями), дающее при делении на простое число p остаток 1. Это очень важное утверждение. На нем основана, например, периодичность бесконечной десятичной дроби, полученной при обращении обыкновенной дроби 1/p, где p ≠ 2 и p ≠ 5 (если выписывать последовательные десятичные знаки при делении 1 на p, то с некоторого места они начнут периодически повторяться).
Другая связь имеется с признаками делимости. Признак делимости на 3 основывается на том, что 9 делится на 3. Для того чтобы узнать, делится ли на 11 число