Рис. 1
В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа, которые получаются так, как это показано на рис. 2 в верхней его части. Нетрудно заметить, что n-е квадратное число равно n2, а n-е треугольное число равно сумме всех целых чисел от 1 до n, т.е. n(n+1)/2 (см. Арифметическая прогрессия).
Рис. 2
Пятиугольные числа изображены на рис. 2. Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется еще n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что n-е пятиугольное число равно
Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа. Формула для n-го k-угольного числа такова:
При k=3 мы получаем треугольные числа, при k = 4 - квадратные и т.д.
Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис. 2), а для числа 13 - лишь расположив все предметы в одну линию. Такое число древние не считали прямоугольным. Таким образом, прямоугольными числами являются все составные числа, а непрямоугольными - простые числа.
К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел - от первого до n-го. Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид
nn=n(n+1)(n+2)/6.
ФОРМУЛА
Формула комбинация математических знаков и букв, выражающая какое-либо предложение.
Например, формула синуса тройного угла (см. Угол), выражающая его через синус простого угла:
sin 3α = 3 sin α - 4 sin3α.
Известно много формул, связывающих между собой элементы треугольника (a, b, c - длины сторон, r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей). Вот одна из них:
1/ab+ 1/bc + 1/ca = 1/2Rr.
Как правило, термин «формула» употребляют по отношению к комбинациям знаков и букв, которые:
состоят из двух частей, соединенных знаком равенства;
выражают истинное при определенных условиях утверждение;
позволяют выразить некоторую величину через другие.
Особое значение термин «формула» приобретает в математической логике, где он применяется по отношению к выражениям формального языка, построенным по определенным правилам.
ФУНКЦИЯ
Функция - это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. - имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.
Например, в соотношении y=x2 геометр или геодезист увидит зависимость площади y квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y=x2 и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y=x2 увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.
«Поворотный пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика.» Ф. Энгельс
Понятие функции для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, столь же фундаментально, как понятие числа при изучении количественных соотношений реального мира.
Математическое описание понятия функциональной зависимости или функции состоит в следующем.
Пусть X и Y - какие-то множества. Говорят, что имеется функция, определенная на множестве X со значениями в множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу x ∈ X соответствует определенный элемент y ∈ Y.
В этом случае множество X называется областью определения функции; символ x его общего элемента - аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению x0 ∈ X аргумента x элемент y0 ∈ Y называют значением функции на элементе x0 или значением функции при значении аргумента x = x0 и обозначают через f(x0). При изменении значений аргумента значения y = f(x) ∈ Y, вообще говоря, меняются (в зависимости от значения x). По этой причине величину y=f(x) часто называют зависимой переменной.
Совокупность всех значений, которые функция принимает на элементах множества X, называют множеством значений функции и иногда обозначают через f(X). В частности, если это множество состоит только из одного элемента y ∈ Y, то функция называется постоянной на множестве X.
Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского авиалайнера. Пусть X - множество пассажиров, а Y - множество кресел салона. Тогда возникает естественное соответствие f: каждому пассажиру x ∈ X сопоставляется то кресло y=f(x), в котором он сидит. Мы имеем здесь, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество X пассажиров, а областью значений - множество f(X) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y.
Если в кресле y0 находятся два пассажира
«Весь анализ бесконечных вращается вокруг переменных величии и их функций». Л. Эйлер
Если, однако, какой-то пассажир x0 ухитрится сесть сразу в два кресла y'0, y"0, то нарушится принцип однозначной определенности значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функции, поскольку требуется, чтобы каждому значению x аргумента соответствовало одно определенное значение y=f(x) функции.