В зависимости от природы множеств X, Y термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: соответствие, отображение, преобразование, оператор, функционал и т.д. Отображение - наиболее распространенный из них.
Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: f : X → Y и
Когда функцию f : X → Y называют отображением, значение f(x) ∈ Y, которое она принимает на элементе x ∈ X, обычно называют образом элемента x. Образом множества A ⊂ X при отображении f : X → Y называют множество f(A) тех элементов Y, которые являются образами элементов множества A.
Рассмотрим еще несколько примеров, поясняющих понятие функции. В них употребляются названные синонимы и введенная терминология.
Формулы S = x2 и V = x3 устанавливают функциональную зависимость площади S квадрата и объема V куба от длины x стороны квадрата и ребра куба соответственно. При такой интерпретации каждая из этих формул задает свою функцию f : 𝑹+ → 𝑹+, определенную на множестве 𝑹+ положительных чисел со значениями, лежащими в том же множестве 𝑹+.
Здесь и область определения и область значений функции являются числовыми множествами. Такие функции обычно называют числовыми. Числовые функции являются основным, но далеко не единственным видом функций.
Пусть A - множество всевозможных квадратов. Каждый квадрат a ∈ A имеет сторону вполне определенной длины l(a). Соответствие a → l(a) порождает, таким образом, действительнозначную функцию f : A → 𝑹+, определенную на множестве A квадратов и принимающую значения в множестве 𝑹+ положительных чисел.
ВЛАДИМИР АНДРЕЕВИЧ СТЕКЛОВ
(1864-1926)
В. Л. Стеклов - русский советский математик, видный организатор советской науки.
В трудные для нашей страны годы гражданской войны академик В. А. Стеклов был избран вице-президентом Академии наук (1919). Он взял на себя громадный труд по административно-хозяйственной и организационно-научной деятельности.
26 января 1921 г. В. И. Ленин принял A. M. Горького, В. А. Стеклова и других ученых. Они обсуждали состояние научно-исследовательской работы в РСФСР. После этой беседы В. И. Ленин сказал Горькому: «Вот так, одного за другим мы перетянем всех русских и европейских архимедов, тогда мир, хочет не хочет, а - перевернется».
При непосредственном участии Стеклова был разработан и проведен в жизнь ряд решений, способствовавших развитию науки в нашей стране. В 1921 г. по инициативе ученого при Академии наук был организован Физико-математический институт, первым директором которого его и назначили. (После смерти В. А. Стеклова Математическому институту АН СССР было присвоено его имя.) Ученый принимал активное участие в многочисленных комиссиях и комитетах Академии наук, участвовал в работах по изучению Курской магнитной аномалии, входил в Международную комиссию по изданию трудов Л. Эйлера.
Но главным делом жизни Стеклова были научные исследования, которые он начал в Харьковском университете под руководством русского математика А. М. Ляпунова. Первоначально Стеклов изучал движение твердого тела в жидкости и некоторые вопросы теории упругости, а затем перешел к изучению общих проблем, связанных с решением уравнений математической физики. Он изучил разложения функций в ряды по многочленам специального вила (этой темой много занимались П. Л. Чебышев и его ученики), дал общее условие разложимости функций в ряд по заданной системе функций, которое, как выяснилось позднее, и является бесконечномерным обобщением теоремы Пифагора, применил полученные результаты к решению различных проблем, в том числе к решению важного для математической физики уравнения Лапласа (этому уравнению удовлетворяет, например, установившееся распределение температуры в теле). Полученные ученым результаты сделали его одним из виднейших специалистов в области математической физики. В 1912 г. он был избран академиком.
В. А. Стеклов был представителем петербургской математической школы, которая объединяла замечательных русских ученых, профессоров высших учебных заведений: П. Л. Чебышева, М. В. Остроградского, А. М. Ляпунова. А. А. Маркова и других. К научным работам по математике В. А. Стеклов предъявил требования, характерные для этой школы: единство науки и жизни, выдвижение на первый план проблем, которые непосредственно служат познанию природы. В то же время он считал, что при оценке научных достижений не следует учитывать лишь их прикладную значимость, и подчеркивал, что кажущаяся с первого взгляда отвлеченной научная теория может получить в дальнейшем важные теоретические и практические приложения.
В. А. Стеклов известен также как историк математики, философ и писатель. Его перу принадлежат книги о русских и зарубежных ученых, путевые очерки и т.д.
------------------------------------------
Пусть B - множество кубов в пространстве. Положительному числу x ∈ 𝑹+ поставим в соответствие один выбранный из множества B куб b(x) с ребром, длина которого равна x. Тогда возникает функция f : 𝑹+ → B, определенная на множестве чисел 𝑹+, значения которой лежат в множестве B кубов.
Мы часто говорим «рассмотрим последовательность z1,z2,z3,...,zn,... элементов множества Z», имея в виду, что каждому натуральному числу n ∈ N ставится в соответствие некоторый элемент zn множества Z. Таким образом, последовательность - это функция f : N → Z, заданная на множестве натуральных чисел.
Если на прямой ввести две системы координат {x}, {x'}, имеющие одинаковый масштаб (единицу длины), то координаты x и x' одной и той же точки прямой в этих системах будут связаны соотношением x'=x-c, где c - координата в системе {x} начала отсчета системы {x'}. Функция x'=x-c в этом случае обычно называется преобразованием координат. Термин «преобразование» часто встречается в геометрии (см. Геометрические преобразования), а также в физике в связи с разнообразными преобразованиями координат.
Каждой числовой функции f : [0;1] → R, определенной на отрезке 0≤x≤1, ставим в соответствие ее значение f(x0) в некоторой фиксированной точке x0 этого отрезка. Соответствие f → f(x0) порождает принимающую числовые значения функцию 𝓕 : F → 𝑹, определенную на множестве 𝓕 = {f} всех указанных функций f. Для удобства функции, определенные на функциях и принимающие числовые значения, обычно называют функционалами. Так что мы построили функционал 𝓕 : F → 𝑹. Другим примером функционала L : F = 𝑹 может служить длина l(f) кривой, являющейся графиком функции f : [0;1] → 𝑹.