ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ
Теория чисел - раздел математики, в котором изучаются свойства чисел.
Основной объект теории чисел - натуральные числа (см. Число). Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел - это делимость. Первый круг задач теории чисел - разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа, т.е. числа, делящиеся только на 1 и на себя; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - вот первые десять простых чисел (число 1 не относят к простым). Замечательная теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители, причем единственным способом (с точностью до порядка их расположения). Разложив два числа на простые множители, несложно определить, делится одно из них на другое или нег. Но до сих пор бывает трудно выяснить, является ли данное большое число простым, т.е. делится ли оно на какое-либо другое число, кроме себя и единицы.
С разложением чисел на простые множители связан ряд арифметических функций. Укажем некоторые из них. φ(n) - функция Эйлера - количество чисел от 1 до n, взаимно простых с числом n (т.е. не имеющих с n общих множителей, кроме единицы); α(n) - количество делителей числа n, τ(n) - сумма всех делителей числа n, π(n) - функция Чебышева - количество простых чисел, не превосходящих n. С помощью этих функций выражаются многие свойства натуральных чисел. Теорема Евклида утверждает, что простых чисел бесконечно много. Это означает, что π(n) → ∞ при возрастании числа n. Удалось выяснить, как быстро функция π(n) стремится к бесконечности. Оказалось, что примерно так же, как функция
n/ln n.
Эта теорема носит название асимптотического закона распределения простых чисел. Она была сформулирована и в существенной части доказана П. Л. Чебышевым (1849), а полностью доказана лишь 50 лет спустя.
Асимптотический закон распределения простых чисел - это результат так называемой аналитической теории чисел, которая широко использует методы математического анализа для исследования теоретико-числовых функций. Обнаруженный во второй половине XIX в. факт связи такого дискретного объекта, как целые числа, с глубокими свойствами функций оказал большое влияние на развитие теории чисел.
Разложение чисел на множители учитывает только структуру множества натуральных чисел, связанную с умножением, наиболее глубокие и трудные задачи теории чисел возникают при сравнении сложения и умножения. К числу таких задач можно отнести, например, проблему Гольдбаха - можно ли всякое четное число представить как сумму двух простых; великую теорему Ферма (см. Ферма великая теорема) - можно ли n-ю степень числа представить как сумму n-х степеней двух каких-либо чисел и т.п.
Теория чисел привлекательна тем, что в ней много простых по формулировкам, но трудных и интересных задач. Этих задач - решенных и нерешенных - накопилось очень много, и часто теория чисел представляется собранием разрозненных изящных головоломок. Однако это не так. Теория чисел создала свои замечательные методы, причем многие из них активно развиваются в последние десятилетия, что влило новую живую струю в эту самую древнюю часть математики.
Классическим методом теории чисел является метод сравнений. Отождествляя между собой числа, дающие одинаковые остатки при делении на выбранное число, часто удается установить невозможность какого-либо соотношения. Например, рассматривая остатки от деления на 3 (или, как говорят, по модулю 3), легко доказать неразрешимость в натуральных числах уравнения 3x2 + 4y2 = 5z2.
Аналитический метод состоит, как мы уже говорили, в том, что, отправляясь от чисел, строят функции, которые исследуют методами математического анализа. Так, советский ученый академик И. М. Виноградов доказал вариант проблемы Гольдбаха - представимость достаточно большого нечетного числа в виде суммы трех простых.
ИВАН МАТВЕЕВИЧ ВИНОГРАДОВ
(1891-1983)
И. М. Виноградов - русский советский математик, дважды Герой Социалистического Труда (1945, 1971), лауреат Ленинской (1972) и Государственных (1941, 1983) премий, академик (1929).
Основные работы И. М. Виноградова относятся к теории чисел (см. Чисел теория). Ему принадлежит решение одной из двух проблем Гольдбаха, которые были поставлены в переписке X. Гольдбаха (немецкого математика XVIII в., большую часть жизни прожившего в России) с Л. Эйлером в 1742 г. Они формулируются так: каждое четное число ≥4 является суммой двух простых чисел (бинарная проблема Гольдбаха) и каждое нечетное число ≥7 является суммой трех простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха). Эти проблемы не поддавались усилиям крупнейших математиков. И. М. Виноградов не только решил тернарную проблему Гольдбаха, доказав, что каждое достаточно большое нечетное число представляется суммой трех простых чисел, но также получил формулу, выражающую количество таких представлений. По этой формуле можно узнать, сколькими способами заданное нечетное число может быть разложено на сумму трех простых чисел. Для решения проблемы Гольдбаха ученый создал один из самых общих и мощных методов теории чисел - метод тригонометрических сумм. Применяя этот метод, он сам и его последователи получили большое количество выдающихся результатов как в теории чисел, так и в других областях математики.
И. М. Виноградов родился в 1891 г., в небольшом селе Милолюб Великолукского района, в семье сельского священника. Он окончил Великолукское реальное училище (1910). Петербургский университет (1914), работал доцентом и профессором в Пермском университете, затем профессором в ленинградских вузах. Он был организатором и бессменным директором Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук СССР - признанного центра математики в СССР и во всем мире.
------------------------------------------
Геометрический метод теории чисел мы проиллюстрируем на примере великой теоремы Ферма. В этой теореме идет речь о разрешимости в целых числах уравнения xn + yn = zn. Поделив обе части уравнения на zn и заменив x/z на u, a y/z на v получим уравнение un + vn = 1. Это уравнение задает на плоскости с координатами (u,v) некоторую кривую. Решения исходного уравнения в целых числах соответствуют решениям нового уравнения в рациональных числах. О каждом таком решении (u,v) можно говорить как о точке с рациональными координатами на этой плоскости. Теперь можем попытаться применить геометрические методы к кривой un + vn = 1 для исследования на ней множества точек с рациональными координатами.
Большой раздел теории чисел, занимающийся нахождением решений уравнений в целых и рациональных числах, носит название теории диофантовых уравнений, по имени древнегреческого ученого Диофанта (III в.).
К числу очень старых и известных задач теории чисел относится задача представления чисел суммами квадратов. Перечислим некоторые из полученных результатов:
каждое целое число можно представить как сумму четырех квадратов целых чисел (например: 7 = 22 + 12 + 12 + 12);
каждое простое число вида 4n + 1 можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел (например: 5 = 22 + 12, 41 = 42 + 52 и т.п.), а ни одно целое (не только простое) число вида 4n + 3 нельзя представить в таком виде;