Рис. 3
Рис. 4
II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов
II1.
II2.
II3.
II4.
Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например:
При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:
Далее, геометрически сумма нескольких векторов
Рис. 5
III. Умножение вектора на число. Пусть
Рис. 6
Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов
III1.
III2.
III3.
III4.
Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.
а) Если M - такая точка отрезка AB, что |AM| : |BM| = k, то для любой точки O справедливо равенство
б) Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то
в) Пусть M - точка прямой l и
г) Пусть M - точка плоскости α и
Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.
IV. В пространстве существуют такие три вектора
Например, если
Рис. 7
V. Скалярное произведение
Следующие 4 соотношения (справедливые для любых векторов
V1.
V2.
V3.
V4. Если
Заметим в связи со свойством V4, что число
Со скалярным произведением связано понятие ортогональности: два вектора
Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и объясняется польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо прежде всего научиться «переводить» условие геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное векторное решение снова «переводится» на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.
При изложении курса геометрии в школе вектор дается как определяемое понятие (см. Определение), и потому принятая в школьном учебнике аксиоматика (см. Аксиоматика и аксиоматический метод) геометрии ничего не говорит о свойствах векторов, т.е. все эти свойства должны доказываться как теоремы.
Существует, однако, и другой путь изложения геометрии, при котором первоначальными (неопределяемыми) понятиями считаются вектор и точка, а отмеченные выше свойства I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 принимаются за аксиомы. Такой путь построения геометрии был предложен в 1917 г. немецким математиком Г. Вейлем. Здесь прямые и плоскости являются определяемыми понятиями. Преимущество такого построения в его краткости и в органической связи с современным пониманием геометрии как в самой математике, так и в других областях знания. В частности, аксиомы II1-II4, III1-III4 вводят так называемое векторное пространство, используемое в современной математике, в физике, математической экономике и т.д.
ВЕРОЯТНОСТЬ
Вероятность – числовая характеристика возможности появления случайного события в определенных условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз.
В XVIII в. сложилось понятие классической вероятности. Согласно ему вероятность события A есть отношение числа равновозможных случаев, благоприятствующих наступлению события A, к числу всех возможных.