Рис. 3
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнять, - построение окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача называется задачей Аполлония – по имени греческого геометра Аполлония из Перги (ок. 200 г. до н.э.).
Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба, а именно построение квадрата, равновеликого данному кругу, деление произвольного угла на три равные части и построение стороны куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба.
Эти три задачи привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении столетий, и лишь в середине прошлого века была доказана их неразрешимость, т.е. невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки. Эти результаты были получены средствами не геометрии, а алгебры, что еще раз подчеркнуло единство математики. Однако до сих пор еще встречаются люди, которые пытаются найти решения указанных задач при помощи циркуля и линейки.
Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и пятнадцатиугольник, а также все многоугольники, которые получаются из них удвоением числа сторон, и только их.
Новый шаг в решении поставленной задачи был сделан лишь в 1801 г. немецким математиком К. Гауссом, который открыл способ построения правильного семнадцатиугольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения n, при которых возможно построение правильного n-угольника указанными средствами. Этими многоугольниками оказались лишь многоугольники, у которых количество сторон является простым числом Ферма (т.е. простым числом вида
Другие геометрические построения. Однако в практических построениях нас никто не ограничивает в выборе математических инструментов, которых со времен древнегреческих математиков было создано великое множество. Чтобы выполнить большинство построений с нужной точностью, достаточно линейки с делениями и транспортира. Заметим, что точка, нанесенная карандашом на бумаге, отнюдь не является идеально математической точкой, а имеет определенные размеры, как и точка, полученная пересечением двух прямых, проведенных карандашом, особенно если угол между ними мал.
Довольно любопытны некоторые приближенные способы построения. Например, приближенная квадратура круга получается, если за сторону квадрата взять хорду, проходящую через конец одного из радиусов круга (OB) и середину перпендикулярного ему радиуса (OC) (рис. 4). Этому построению соответствует значение π ≈ 3,2.
Рис. 4
Теория построений при помощи циркуля и линейки получила широкое развитие в конце XIX в. Например, было показано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки, можно выполнить с помощью лишь одной линейки, если в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.
ТЕОРЕМА МОРЛИ
Одна из трех знаменитых задач древности задача о делении произвольного угла на три равные части. Лишь сравнительно недавно было доказано, что деление угла с помощью циркуля и линейки не всегда возможно. Видимо, этим объясняется то, что лишь в 1899 г. был открыт следующий удивительный факт: если в произвольном треугольнике разделить каждый угол на три равные части, то точки пересечения делящих их лучей (рис. 1) окажутся вершинами равностороннего треугольника. Эта теорема получила название теоремы Франка Морли, по имени американского математика, открывшего этот факт. Позже было замечено, что этим свойством обладают также и точки пересечения лучей, делящих на равные части внешние углы произвольного треугольника (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Геометрическое преобразование плоскости - взаимно-однозначное отображение этой плоскости на себя. Наиболее важными геометрическими преобразованиями являются движения, т.е. преобразования, сохраняющие расстояние. Иначе говоря, если f - движение плоскости, то для любых двух точек A,B этой плоскости расстояние между точками f(A) и f(B) равно |AB|.
Движения связаны с понятием равенства (конгруэнтности) фигур: две фигуры F и G плоскости а называются равными, если существует движение этой плоскости, переводящее первую фигуру во вторую. Фактически это определение использовал еще Евклид (см. Геометрия), называвший две фигуры равными, если одну из них можно наложить на другую так, чтобы они совпали всеми своими точками; под наложением здесь следует понимать перекладывание фигуры как твердого целого (без изменения расстояний), т.е. движение.
Примерами движений плоскости являются осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот. Как пример, напомним определение параллельного переноса. Пусть
Рис. 1
При решении геометрических задач с помощью движений часто применяется свойство сохранения пересечения: при любом движении f пересечение фигур переходит в пересечение их образов, т.е. если P,Q - произвольные фигуры, то фигура P ∩ Q переходит в результате движения f в фигуру f(P) ∩ f(Q). (Аналогичное свойство справедливо для объединения.)
Задача 1. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает его стороны в точках A,B,C и D (рис. 2). Доказать, что |AB|=|CD|.
Рис. 2
Решение. Обозначим через P одну из сторон угла, а через Q - круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии s относительно биссектрисы угла луч P переходит в луч P', который образует вторую сторону угла, а круг Q переходит в себя: s(P) = P', s(Q) = Q. Согласно свойству сохранения пересечения фигура P ∩ Q переходит в s(P) ∩ s(Q), т. е. в P'∩Q. Иначе говоря, отрезок AB переходит в отрезок CD, и потому |AB|=|CD|.