Энциклопедический словарь юного математика

Рис. 12

Рис. 13

Преобразование f плоскости α называется подобием с коэффициентом k>0, если для любых точек A,B плоскости α расстояние между точками f(A) и f(B) равно k·|AB|. Любое подобие (как и гомотетия – частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую l в прямую l', не параллельную ей.

На рис. 14 изображены два плана P и P₁, одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие на плоскости. Эти планы представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая AB и соответствующая ей прямая A₁B₁ не параллельны. Чтобы получить план P₁, исходя из плана P, можно поступить так: сначала повернуть план P, чтобы его стороны стали параллельными сторонам плана P₁, а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план P₁, подобный P, получается из P при помощи композиции движения (поворота) и гомотетии.

Рис. 14

Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие g представляется в виде композиции h ∘ f, где f - движение, а h - гомотетия. Из этого ясно, что при решении задач методом подобия можно ограничиваться лишь рассмотрением гомотетии (сопровождаемой некоторым движением). Это имеет определенные удобства: вспомните, с каким напряженным вниманием отыскиваются соответственные стороны по-разному расположенных подобных треугольников при выписывании равенства отношений сторон (и с какой легкостью выписываются эти отношения для гомотетичных треугольников).

Задача 6. Стороны треугольника ABC связаны соотношением a² = c(b+c). Доказать, что угол A вдвое больше угла C.

Решение. Пусть D - такая точка прямой AB, что |AD| = b, причем A лежит между B и D (рис. 15). Тогда треугольник ACD - равнобедренный, и потому ∠1 = ∠2; кроме того, |BD| = b + c. При симметрии относительно биссектрисы угла B точки A и C перейдут в такие точки A' и C', что |BA'| = |BA| = c, |BC'| = |BC| = a; кроме того ∠3 = ∠4. Равенство a² = c(b+c) можно переписать в виде

(b + c)/a = a/c, т.е. |BD|/|BC| = |BC'|/|BA'|,

откуда следует, что при гомотетии с центром B и коэффициентом k = |BD|/|BC'| точки D,C переходят в C',A'. Следовательно DC||C'A' и потому ∠2 = ∠4, т.е. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4. Так как BAC - внешний угол треугольника ACD, то он равен сумме углов ∠1  и ∠2 , т.е. равен удвоенному углу C.

Рис. 15

В заключение рассказа о преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому (см. Геометрия) согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами, которые сохраняются при всех преобразованиях подобия и изучаются в геометрии подобий) являются угол, отношение длин двух отрезков, параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина отрезка уже не сохраняется, но в силу сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике (т.е. о треугольнике, в котором отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий. Сохраняется также теорема Пифагора (в форме (a/c)² + (b/c)² = 1, где a/c и b/c - отношения длин катетов к длине гипотенузы) и т.п.

Однако не следует думать, что геометрия подобий ничем, кроме формы изложения, не отличается от евклидовой геометрии. Существуют факты, которые отличают эти две геометрии. Например, условимся говорить, что линия L может скользить но себе, если для любых двух точек A,B этой линии найдется преобразование f (принадлежащее группе, задающей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию L в себя, а точку A - в B. В геометрии Евклида (т.е. в геометрии, определяемой группой движений плоскости) существуют только два типа связных линий (т.е. состоящих из одного куска), которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это – логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах уравнением ρ = ρ₀e^kφ (рис. 16).

Рис. 16

Еще один необычный факт геометрии подобий мы получим, рассматривая преобразование g = h ∘ r, где r - поворот вокруг точки O на угол φ₀, а h - гомотетия с центром O и коэффициентом k₀ > 0. Пусть ..., A_-2,A_-1,A₀,A₁,A₂... - последовательность точек, переходящих друг в друга при преобразовании g, т.е. g(A_i) = A_i+1 при любом целом i (рис. 17). Эти точки лежат на одной логарифмической спирали, причем для любого целого i угол A_iOA_i+1 имеет одну и ту же величину φ₀. Последовательно соединяя эти точки, мы получим бесконечную ломаную линию ..., A_-2,A_-1,A₀,A₁,A₂..., которая переводится преобразованием g в себя, причем каждая вершина A_i переводится в соседнюю вершину A_i+1.

Рис. 17

Заметим, что рассмотренное преобразование подобия g = h ∘ r (его называют поворотным растяжением) имеет тесную связь с комплексными числами. Комплексное число z = x + iy можно представить в виде направленного отрезка, идущего из начала координат в точку (x;y). При таком геометрическом изображении комплексные числа складываются как векторы (рис. 18). А для получения геометрической интерпретации умножения комплексных чисел удобно поворотное растяжение g = h ∘ r, рассмотренное выше. Именно, пусть z = x + iy - некоторое комплексное число, ρ - его модуль (т.е. длина изображающего отрезка), а φ - аргумент (т.е. угол наклона изображающего направленного отрезка к положительной части оси абсцисс). Число z получается из числа 1, если, во-первых, вектор, изображающий число 1, растянуть в ρ раз, и, во-вторых, повернуть его на угол φ (рис. 19), т. е. вектор z получается из вектора 1 преобразованием g = h ∘ r = r ∘ h, где h - гомотетия с центром в начале и коэффициентом ρ, а r - поворот вокруг начала на угол φ. Итак, z = g(1). Если теперь z' = x' + iy' - другое комплексное число, то при применении преобразования g (т. е. при растяжении изображающего вектора в ρ раз и повороте его на угол φ) число z' переходит в z" (рис. 19). Можно сказать и иначе: треугольники на рис. 19 подобны. Это и дает геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Из сказанного ясно, что при умножении всех комплексных чисел на одно и то же комплексное число z вся плоскость комплексных чисел подвергается поворотному растяжению. В частности, для любых трех комплексных чисел z₀,z₁,z₂ мы имеем z₂ - z₀ = z(z₁ - z₀), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению длин векторов z₂ - z₀ и z₁ - z₀, а аргумент равен углу между этими векторами (рис. 20).