После получения диплома Шмидт был оставлен в университете для подготовки к профессорскому званию, и молодой ученый, казалось, целиком посвятил себя науке. Но революционные события разбудили в нем, по его словам, «человека воли, действия». По личному указанию В. И. Ленина О. Ю. Шмидт работал над подготовкой и реализацией ряда проектов, был членом комиссий народных комиссариатов. Он стал организатором высшего образования в стране. С 1924 по 1941 г. Отто Юльевич был главным редактором Большой советской энциклопедии.
Летом 1927 г. О. Ю. Шмидту представилась возможность совершить поездку в Геттинген – математическую столицу того времени и встретиться там с крупнейшими математиками, среди них и с Д. Гильбертом. Шмидт ознакомился с достижениями в изучаемой им области за целое десятилетие и сумел доказать замечательную теорему «о бесконечных группах с конечной цепью», ставшую классической.
Коренная перестройка основ алгебры, начавшаяся в конце 20-х гг., предъявила новые требования к преподаванию в университетах. По инициативе О. Ю. Шмидта в МГУ была организована кафедра высшей алгебры, а затем научно-исследовательский семинар по теории групп. Семинар и кафедра превратились в один из основных алгебраических центров в СССР.
30-е гг. были заполнены работой по освоению Арктики. О. Ю. Шмидт становится директором Арктического института, затем – начальником Главсевморпути. В 1932 г. экспедиция под руководством О. Ю. Шмидта на ледоколе «Сибиряков» впервые за одну навигацию прошла из Архангельска в Тихий океан. На следующий год Шмидт возглавил ставшее историческим плавание на пароходе «Челюскин» по Северному морскому пути.
В середине 40-х гг. О. Ю. Шмидт выдвинул новую гипотезу об образовании Земли и планет Солнечной системы, над которой он работал вместе с группой ученых до конца жизни.
И в эти годы Шмидт не оставляет научной деятельности. При всей своей занятости ученый продолжает работать над теорией групп. Вопросы, которые он разрабатывал, оставили заметные вехи на пути развития этой теории. Последняя работа основоположника советской теоретико-групповой школы выполнена в 1947 г., но математическая деятельность ученого продолжалась до последних дней его жизни.
О встречах с О. Ю. Шмидтом сохранились воспоминания советских академиков П. С. Александрова, Б. Н. Делоне, А. Н. Колмогорова. Академик П. С. Александров писал: «Обилие – вот, пожалуй, то слово, которое приходит, когда думаешь о личности О. Ю. Шмидта. Обилие ума и обилие сердца, полное развитие человеческой личности в ее интеллектуальном, эстетическом, волевом, эмоциональном и социальном аспектах».
------------------------------------------
Например, первая из этих скобок представляет собой условную запись поворота на угол 2π/3, вторая обозначает симметрию относительно прямой, проходящей через вершину 1.
Скобки вида (1) называются подстановками из трех элементов 1, 2, 3. Перемножение подстановок (соответствующее композиции движений) легко проследить. Например, при первой из подстановок (1) вершина 1 переходит в 2, а при второй подстановке (1) эта вершина 2 переходит в 3, т. е. в результате последовательного выполнения этих подстановок вершина 1 переходит в 3. Проследив это и для других вершин, находим, что произведение первой и второй подстановок (1), т. е. результат их последовательного выполнения, представляет собой 3-ю из этих подстановок.
Еще одним примером конечной группы может служить группа Zm, элементами которой являются вычеты по модулю m (см. Сравнения).
Например, группа Z2 состоит из двух элементов, один из них – множество всех четных чисел, а другой – множество всех нечетных. Если первый из этих элементов обозначить через 0, а второй – через 1 (т.е. 0 - «чет», 1 - «нечет»), то в соответствии с правилом сложения по модулю 2 мы имеем: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0. Можно это записать в виде «таблицы сложения» в группе Z2:
Расскажем о способах, которыми задаются различные группы. Наиболее известно описание группы с помощью образующих и соотношений. Системой образующих некоторой группы G называется такое подмножество ее элементов, что любой элемент группы G можно представить в виде произведения некоторых степеней этих образующих элементов. Рассмотрим, например, паркет, изображенный на рис. 2, и обозначим через G группу всех самосовмещений этого паркета (без учета цветной раскраски). В частности, в группе G содержится симметрия s относительно точки A и поворот g на 2π/3 вокруг точки B. Можно проверить, что любое самосовмещение рассматриваемого паркета представляется в виде произведения (композиции) некоторых степеней элементов s и g (например, поворот вокруг точки D на 2π/3 записывается в виде g∘s∘g2∘s∘g, а параллельный перенос на вектор
Рис. 2
В топологии, например, рассматриваются различные узлы (рис. 3) и для каждого узла определяется некоторая группа, называемая группой узла. Если узел изображен так, как на рис. 4 (с разрывами, показывающими пространственное расположение частей нити узла друг относительно друга), то за систему образующих группы узла можно принять дуги a1,a2,a3,a4,a5, остающиеся неразорванными при таком изображении, а соотношения между этими образующими выписываются для каждой точки перекрещивания нитей узла (для этого надо задать какое-нибудь направление обхода на узле и выписывать соотношения по правилу, показанному на рис. 5). Так, для простейшего узла (его называют трилистником, рис. 6) его группа имеет три образующие a1,a2,a3, между которыми имеются соотношения:
a2a3-1a2-1a1 = e, a3a1-1a3-1a2 = e, a1a2-1a1-1a3 = e.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Устанавливается, что эта группа алгебраически отлична от группы узла на рис. 7, и различие этих групп служит математическим доказательством того, что узел на рис. 6 невозможно «развязать», т.е., деформируя его, превратить в ровную линию без узлов (рис. 7). На рис. 8 и 9 изображены узлы, составленные из 2 или 3 замкнутых нитей. И в этих случаях, рассмотрев группу узла, можно доказать, что эти узлы не могут быть развязаны, т.е. нити, составляющие узел, невозможно развести, не разрывая их.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Мы рассказали о некоторых применениях понятия группы в различных вопросах алгебры и геометрии и упомянули о том, что в любой из областей знания, где встречаются группы, можно применять теоремы о группах (один раз доказав эти теоремы, исходя из аксиом группы). В чем же состоят эти теоремы? Рассмотрим одну из них.