Родился в Будапеште в семье высокопоставленного государственного чиновника. По окончании юридического факультета начал карьеру в государственной администрации. При посредничестве друга, Ференца Эрдеи, присоединился к «Мартовскому фронту» – движению, основанному писателями, близкими к Национальной крестьянской партии (НКП).
Во время Второй мировой войны и в послевоенные годы, вплоть до прихода к власти коммунистов, преподавал политические науки в Клужском и Сегедском университетах, печатал статьи по вопросам права и рецензии на книги политической тематики. В 1942–1943 годах работал над книгой «О европейском равновесии и мире», но не закончил ее. В пространной рукописи, известной под названием «Несущий мир», он объяснял генезис немецкого культа власти поражениями в Наполеоновских войнах.
На следующий день после прихода к власти венгерских фашистов (так называемых салашистов), 16 октября 1944 года, Бибо был задержан по обвинению в выдаче поддельных документов скрывающимся евреям (он был тогда работником Министерства внутренних дел). Хотя через два дня Бибо освободили, до конца войны он был вынужден скрываться.
В феврале 1945 года по просьбе Ференца Эрдеи, одного из лидеров Национальной крестьянской партии и министра внутренних дел во Временном народном правительстве, созданном 22 декабря 1944 года в Дебрецене, Бибо стал директором департамента государственной администрации, а затем директором департамента законодательства. В мае 1945 года вступил в НКП. Одновременно не прекращал преподавательскую работу и продолжал политологические исследования (круг его научных интересов в это время – главным образом страны Восточной Европы). В 1945–1947 годах ему принесли известность политические обзоры в литературном журнале «Отзыв» («Válasz»). В них он выступал против насилия и диктата компартии, одновременно критикуя правые позиции Партии мелких землевладельцев и стремление к реставрации режима Хорти. С его критикой компартии, содержащейся в работе «Кризис венгерской демократии», полемизировали такие выдающиеся коммунистические мыслители, как Дьердь Лукач и Йожеф Реваи. С 1946 года – член-корреспондент Венгерской академии наук.
В 1949–1950 годах, вскоре после прихода к власти коммунистов, Бибо был исключен из состава Академии наук и лишился преподавательского поста. Его хотели вынудить уйти на пенсию. В 1951 году ему удалось устроиться библиотекарем в Будапештском университете. Там его застало начало *венгерской революции 1956 года.
2 ноября 1956 года Крестьянская партия, возрожденная в дни революции под названием Партии Петёфи, делегировала его вместе с Ференцем Фаркошем в коалиционное правительство Имре Надя. На рассвете 4 ноября, получив сообщение о вторжении советских войск в Будапешт, Бибо отправился в парламент, но застал там лишь нескольких политиков из Партии мелких землевладельцев и кардинала Миндсенти, примаса Венгрии. При приближении советских частей собравшиеся политики и кардинал были вынуждены бежать из здания, в парламенте остался только Бибо. Там он написал два текста: «Призыв» и «Проект компромиссного решения венгерского вопроса». «Проект» был вывешен в городе во многих местах, а *Центральный рабочий совет Большого Будапешта принял его как политический манифест и основу для переговоров с Кадаром.
Аналогичный текст («Проект решения проблемы») Бибо составил в декабре 1956 года и при посредничестве Арпада Генца передал его послу Индии в Москве Кумару П. С. Менону, находившемуся в дни революции в Будапеште.
Весной 1957 года в «Записках» он описал свой революционный опыт. 8 сентября 1957 года «Записки» опубликовала австрийская газета «Прессе».
23 мая 1957 года Бибо был арестован и 2 сентября 1958 года, после 15‐месячного следствия, приговорен вместе с Арпадом Генцем к пожизненному заключению за «заговорщическую деятельность с умыслом на свержение народно-демократического государственного строя».
Был освобожден в 1963 году по всеобщей амнистии. Нашел работу в библиотеке Статистического управления, где трудился до 1971 года. В 1967 году направил письмо Жан-Полю Сартру, а в 1969 и 1970 годах Яношу Кадару, призывая освободить революционеров, остававшихся в тюрьмах несмотря на амнистию, поскольку они числились уголовниками с приговором за «неопределенное число покушений на убийство». На свои письма он ни от кого ответа не получил.
Выйдя на свободу, Бибо не был склонен к компромиссам, на которые пошло большинство интеллигентов, связанных с революцией. В связи с этим власти не соглашались на публикацию его работ, а фамилия Бибо до 1980‐х была известна только в близких к оппозиции кругах. Умер в Будапеште.