Используя основные законы механики с помощью относительно простых вычислений, можно рассчитывать траектории и время перемещения различных тел и силы, которые необходимо затратить для приведения их в движение, определять нагрузки, которые сможет выдержать мост или плотина. Знание уравнений электродинамики и закона сохранения энергии позволяет сконструировать электрические двигатели и генераторы таким образом, чтобы они выполняли требуемую от них работу и при этом не возгорались. Более того, вычисления, хотя и значительно более сложные, часто позволяют обнаружить те явления, которые невозможно непосредственно наблюдать. Классический пример – открытие в середине XIX в. планеты Нептун. Астрономы, ведя регулярные наблюдения за небом, Нептун «проглядели», а обнаружен он был благодаря вычислениям, сделанным на основании расчёта орбит других планет.
По мере развития математики, с появлением и совершенствованием вычислительных машин и компьютеров вычисления становились всё сложнее, а область сделанных на их основе предсказаний всё шире. Тогда и появилось понятие математического моделирования.
Математической моделью называют совокупность математических выражений, которые описывают основные характеристики и процессы, присущие исследуемой системе. Для того чтобы создать модель, надо выразить всё, что мы считаем существенным в изучаемом объекте, в виде математических выражений, затем ввести, также в математическом виде, начальные условия, т. е. характеристики состояния, с которого начинается расчёт, и задать алгоритм вычислений.
Слово «алгоритм» очень старое и происходит от имени аль– Хорезми, учёного, написавшего в IX в. сочинение, в котором разрабатывались правила некоторых математических вычислений. В современном понимании алгоритм – это совокупность операций и правил последовательных вычислений, которые в конечном счёте должны привести к определённому результату. Понятие алгоритма стало особенно широко применяться после изобретения вычислительных машин. Ведь, по существу, любая программа вычислений представляет собой алгоритм. Вот, например, простой алгоритм, который может быть выражен в виде компьютерной программы:
«Взять два числа – х и у, перемножить их, затем прибавить к произведению тройку и извлечь из получившейся суммы квадратный корень. Если значение корня окажется целым числом, выдать ответ, что введённые числа составляют пару для данной операции».
Такой алгоритм можно легко вычислить в уме. Нетрудно сообразить, что соответствующие этому условию пары составляют, например, числа 1 и 6; 2 и 3; 2 и 11 и бесконечное количество других.
Создание модели обычно включает определённые этапы. Вначале происходит словесное, качественное, «нематематическое» описание объекта или явления, которое предполагается моделировать. Затем это описание формулируется на языке математических формул. Это самый сложный этап построения модели. После этого создаются алгоритмы, по которым будут сделаны расчёты, затем производятся вычисления, а после полученные математические результаты интерпретируются, т. е. снова «переводятся» на обычный язык для того, чтобы понять, что именно получилось в результате работы математической модели. Если полученные результаты согласуются с реальностью, модель принимается за основу, а затем производится её доработка: в программу вводятся какие-то детали, не учтённые на первом этапе работы, или, наоборот, производятся некоторые упрощения, которые облегчают работу, но существенно не влияют на конечный результат.
Разумеется, модель всегда является упрощённым подобием реального объекта, так как какие-то детали всегда можно упустить из внимания или нарочно пренебречь для того, чтобы моделирование не оказалось чрезмерно сложным. Однако если основные особенности учтены и алгоритмы подобраны правильно, моделирование часто даёт поразительно точные результаты, позволяющие предсказывать ход природных процессов и рассчитывать работу сложных технических устройств. Бывает даже так, что в процессе моделирования выявляются результаты, неожиданные для её создателей, но абсолютно точно согласующиеся с реальностью.