Случаются совпадения настолько маловероятные, что люди начинают подозревать неладное: один и тот же человек дважды выигрывает главный приз в лотерее или в двух розыгрышах выпадают одинаковые номера. Журналисты часто слетаются на такие истории как пчелы на мед, раздувая из кажущегося фантастическим совпадения настоящую сенсацию. А все из-за того, что мы в большинстве своем просто не умеем объективно оценивать вероятность подобных событий, поскольку исходим из ложных предпосылок. Взять хотя бы случай со счастливчиком, которому главный приз достался два раза: мы пытаемся решить эту задачу применительно к себе и рассуждаем – а у меня какие шансы выиграть дважды? И тут же отвечаем себе: да почти никаких. Но ведь те редкие люди, которым это удается, как правило, регулярно играют в лотерею много лет подряд. Два выигрыша за много лет игры – это уже совсем не так удивительно. Еще важнее помнить, какое огромное количество людей участвует в лотерее. Большинство из них никогда не выиграет джекпот даже один раз, не говоря уже о двух. Но при таком количестве играющих тот факт, что кто-то где-то выигрывает дважды, уже не выглядит таким уж невероятным.
Это может показаться парадоксальным и нелогичным, но причина в том, что мы пытаемся примерить задачу на себя. Естественно, крайне маловероятно, что именно вы выиграете джекпот два раза. Но если оценивать шансы того, что кому-либо из играющих так повезет, то вероятность такого выигрыша нужно умножить на количество участников лотереи (что значительно увеличивает шансы), а также на число способов, которыми можно выиграть лотерею дважды (оно приблизительно равно количеству раз, что участники сыграли в лотерею, возведенному в квадрат и деленному пополам). Если учесть все эти факторы, шансы того, что фортуна улыбнется кому-то дважды, начинают выглядеть довольно неплохо.
Наша ошибка при оценке вероятности какого-либо события заключается в том, что мы учитываем не все возможности его наступления. Именно она лежит в основе так называемого “парадокса дней рождения” (который, строго говоря, и парадоксом-то не является): если собрать в одной комнате 23 человека, то вероятность того, что у двух из них совпадут дни рождения, превысит 50 %. Казалось бы, она должна быть гораздо ниже. Кто-то даже поспорит: ведь если для такого совпадения достаточно всего 23 человек, то у каждого из нас должно быть как минимум несколько знакомых, родившихся в тот же день, что и мы, – а на деле такое всегда вызывает удивление. Но ведь в парадоксе речь идет не о вероятности того, что кто-то конкретный из этих людей (например, вы) обнаружит в комнате еще кого-то с тем же днем рождения, а о шансах того, что дни рождения совпадут у любых двоих из группы. Другими словами, нас интересует не вероятность того, что у двух конкретных членов группы один и тот же день рождения, а шансы того, что хотя бы два любых человека из группы родились в один день. Вероятность такого совпадения составляет 1 – (365/365 × 364/365 × 363/365 × … × × 343/365) = 0,507, или 50,7 %. В группе из 60 человек эта вероятность превышает 99 %. А вот чтобы получить 50-процентную вероятность того, что у кого-то в группе день рождения совпадает с вашим, нужно уже 253 человека.
Одна из причин, по которой это кажется парадоксальным, заключается в том, что мы смешиваем два разных вопроса. У большинства из нас просто нет 253 достаточно близких знакомых, у которых мы бы знали день рождения, поэтому нам и кажутся маловероятными подобные случайные совпадения. Но это вовсе не значит, что вероятность совпадения дней рождения у двух других людей так же мала.
Контринтуитивными могут казаться не только положения, относящиеся к вероятности, но и понятие случайности. Какая из двух последовательностей орлов (О) и решек (Р) ниже кажется вам более случайной?
О, Р, О, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р, Р, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р
или
Р, О, Р, О, Р, Р, О, Р, Р, Р, О, Р, Р, Р, Р, О, О, Р, О, Р
Подозреваю, что многие выберут первую, поскольку в ней поровну орлов и решек, расположенных без видимого порядка. Во второй решек явно больше, к тому же бросаются в глаза более длинные серии повторяющихся букв. На самом деле вторую цепочку один из нас (Агниджо) образовал с помощью генератора случайных чисел, а первую специально составил таким образом, чтобы она напоминала результат работы человека, которого попросили написать случайную последовательность букв О и Р. Человек в таком случае обычно избегает длинных серий повторяющихся букв, обе использует примерно поровну и переключается с О на Р и обратно чаще, чем когда это происходит случайно.