А как насчет вот такой последовательности?
О, Р, О, О, О, Р, Р, О, О, О, Р, О, О, О, О, Р, О, Р, Р, Р
Она выглядит вполне случайной, даже статистические методы анализа не заподозрят в ней дело рук человека. В действительности же она построена из десятичных знаков числа пи (без начальной тройки): О обозначает нечетные знаки, а Р – четные. Так являются ли знаки числа пи случайными? Формально нет, так как первый десятичный знак всегда 1, второй – всегда 4 и так далее, сколько бы раз вы ни пытались сгенерировать эту последовательность. Если нечто имеет постоянное место и неизменную величину (когда бы нам ни вздумалось на это нечто посмотреть), какая уж тут случайность? И все же математики задаются вопросом, можно ли считать десятичные знаки числа пи случайными статистически, то есть распределенными равномерно: другими словами, с одинаковой ли вероятностью в его записи встречаются все цифры по отдельности и все сочетания цифр (пары, тройки и так далее). Если да, то про пи можно сказать, что оно “нормально по основанию 10”. Именно так думает подавляющее большинство математиков. Считается также, что число пи “абсолютно нормально”, то есть не только его десятичные знаки статистически случайны, но и двоичные знаки (если его записать в двоичной системе, используя только нули и единицы), и троичные (если оно записано нулями, единицами и двойками) и так далее. Доказано, что почти все иррациональные числа абсолютно нормальны, но вот найти доказательство для конкретных случаев оказывается невероятно трудным делом.
Первый пример известного нормального числа по основанию 10 – постоянная Чемперноуна, названная так в честь английского экономиста и математика Дэвида Чемперноуна, который еще студентом в Кембридже опубликовал работу о ее значении. Чемперноун изобрел эту константу специально для того, чтобы доказать, что нормальные числа существуют, а заодно продемонстрировать, как легко такое число сконструировать. Его постоянная представляет собой просто-напросто цепочку, составленную из следующих друг за другом чисел натурального ряда: 0,1234567891011121314…, а потому содержит все возможные последовательности цифр в равных пропорциях. Десятую часть всех цифр константы составляют единицы, сотую часть всех пар цифр – пара 12 и так далее. Вот только, несмотря на нормальность этого числа по основанию 10, входящие в него цепочки цифр совсем не выглядят случайными (то есть неупорядоченными и непредсказуемыми), особенно в начале. Кроме того, нам неизвестно, является ли это число нормальным по какому-либо иному основанию, кроме 10. Существуют и другие константы, нормальность которых доказана, но все они, как и постоянная Чемперноуна, сконструированы нормальными искусственно. До сих пор не доказано, является ли число пи нормальным хотя бы по какому-то основанию.
Первые двести с небольшим знаков числа пи.
На момент написания этой книги известно 22 459 157 718 361, или чуть больше 22 триллионов, знаков числа пи. В будущем мы, конечно, сможем вычислить и больше знаков[11], но те, что нам известны, уже не изменятся никогда, сколько бы раз мы ни производили вычисление. Известные знаки числа пи – часть застывшей реальности математической вселенной, а потому не могут быть случайными. А что насчет остальных его знаков, тех, которые еще не вычислены? Если исходить из того, что пи нормально по основанию 10, они пока остаются для нас, по сути, статистически случайными. Другими словами, если вас попросят написать случайную цепочку из тысячи цифр, вы можете, предварительно собрав компьютер, способный вычислить на 1000 знаков числа пи больше, чем известно сейчас, использовать полученные новые знаки в качестве случайной цепочки. Еще одну случайную цепочку? Пожалуйста – вычисляем еще тысячу (ранее неизвестных) знаков. В связи с этим возникает любопытный философский вопрос о природе математических явлений: насколько реальны те десятичные знаки числа пи, до которых мы еще не добрались? Трудно ведь утверждать, что, скажем, септиллионный[12] знак числа пи не существует или что у него нет конкретного постоянного значения, даже если мы не знаем, что это за знак. Но в каком смысле и в каком виде он существует до того, как появится в памяти трудяги-компьютера в результате невероятно долгого вычисления – вычисления, которое пока еще не производилось?
Кстати, стоит упомянуть любопытное открытие, сделанное в 1996 году исследователями Дэвидом Бэйли, Питером Боруэйном и Саймоном Плаффом. Им удалось найти довольно простую формулу – сумму бесконечного ряда членов, – с помощью которой можно вычислить любой знак числа пи, не зная ни одного предыдущего знака. (Строго говоря, вычисляемые по формуле Бэйли – Боруэйна – Плаффа знаки не десятичные, а шестнадцатеричные, то есть представлены по основанию 16.) На первый взгляд это кажется невозможным, да и для других математиков стало полным сюрпризом. Но еще больше поражает другое: для того чтобы вычислить с помощью этого метода, к примеру, миллиардный знак числа пи, достаточно обычного ноутбука и совсем немного времени – меньше, чем на обед в ресторане. Разные варианты формулы Бэйли – Боруэйна – Плаффа могут использоваться для поиска других “иррациональных” чисел, подобных пи, с десятичными знаками, что убегают вдаль бесконечной цепочкой, нигде не повторяясь.
11
По состоянию на январь 2020 года известных нам знаков числа пи уже 50 триллионов. –