а2 + Ь2 = с2 или, что равнозначно, V---(a?+b?)=c
Практическое применение этот метод вычисления нашел в [55]землемерной практике, в вычислениях, связанных с определением высоты и т. д. В той же беседе Жун Фана с Чэнь-цзы объясняется, как вычислить высоту положения Солнца по длине тени, отбрасываемой вертикально установленным шестом, с помощью «метода гоу-гу» (то есть «метода катетов»).
Греческий математик Эвклид (330–275 годы до н. э.) называет теорему о взаимозависимости сторон прямоугольного треугольника теоремой Пифагора, жившего, как известно, в пятисотых годах до н. э.
Хотя точно установить время доказательства этой теоремы в Китае сейчас невозможно, хотя мы и не можем теперь проверить, действительно ли легендарный Юй, основавший первую китайскую династию Ся, уже применял эту теорему в своих вычислениях, когда он обуздывал реки, ? но ко времени жизни Шан Гао, Жун Фана и Чэнь-цзы, то есть задолго до Пифагора и Эвклида, ее в Китае, как видите, уже знали и применяли на практике.
Для вычисления площади круга или — сугубо практическая задача ?для вычисления объема цилиндрической меры зерна нужно знать отношение длины окружности к диаметру, то есть трансцендентное число ?. Если обозначить радиус через r, высоту цилиндра через h, то площадь круга можно записать формулой ?r?, а объем цилиндрической меры для жидких и сыпучих тел h?r?. Нужды практических расчетов с окружностями и круглыми телами уже в глубокой древности привели китайских математиков к поискам приближений для к с помощью рациональных чисел.
В «Чжоу-би суань цзин» говорится, что длина окружности относится к ее диаметру, как 3 относится к 1, что соответствует приближенному значению ? = 3.
В конце династии Западная Хань (206 год до н. э. — 25 год н. э.) Лю Синь получил для ? приближение 3,154, а Чжан Хэн в эпоху династии Восточная Хань (25—220 годы) вычислил его как 3,16.
В III веке, в период Троецарствия, математик Лю Хуэй (родился около 263 года) дал для ?, пользуясь методом последовательного удвоения числа сторон вписанного в окружность правильного шестиугольника, приближение 3,14. Лю Хуэй остановился на правильном 96-угольнике. Высчитав длину сторон в 6,282 048 при радиусе в 1, Лю Хуэй дал для ? приближение с шестью десятичными знаками — 3,141 024. Отбросив четыре последних знака, он оставил приближение 3,14. Последовательное удвоение сторон вписанного в окружность правильного многоугольника приближало сумму его сторон в виде длины ломаной линии к длине окружности.
Сравните это положение с теоремой современной геометрии, доказывающей, что сумма сторон вписанного в окружность правильного многоугольника при бесконечном их (сторон) удвоении стремится к длине окружности.
Через двести лет после Лю Хуэя, Цзу Чун-чжи (429–500 годы) получил для ? еще более точное приближение. Метод Цзу Чун-чжи, описанный в его труде «Чжуй-шу», к сожалению, остался неизвестным. Книга была утеряна еще в эпоху Северной Сунской династии (960—1 127 годы), однако принято считать, что он применил метод Лю Хуэя, заключавшийся в удвоении сторон вписанного в окружность правильного многоугольника. Вычислив сумму сторон 12 288-угольника и 24 576-угольника, он получил отношение длины окружности к диаметру, лежащее в пределах 3,1415926 <?< 3,1415927. Он дал два приближенных значения числа
?=22/7=22/7 (приближенное)
и
?=355/113 (более точное).
Это последнее, более точное, приближение лишь на 4/10000000 расходится с последним совремeнным приближением, вычисленным для трансцендентного числа ?.
В Европе приближение 355/113 было найдено лишь в 1573 году. Японский математик Миками Есио предлагал назвать это приближение «числом Цзу» в память о великом вкладе китайского ученого Цзу Чун-чжи в историю математической мысли.
Сын Цзу Чун-чжи, Цзу Хэн-чжи, продолжая исследования отца в области математической науки, открыл способ вычисления объема шара (объем шара = 4/3 ?r?). Одна из примененных им теорем была доказана итальянским математиком Бонавентура Кавальери (1598–1647 годы) спустя тысячу лет и получила название «принципа Кавальери».
Другим классическим трудом по математике является исключительно богатая по содержанию работа «Искусство счета в девяти главах» («Цзючжан суань-шу»). Эта работа была закончена около 40–50 годов н. э. Девять областей практического применения математических знаний определили само древнее название науки ? «Искусства счета по девяти разделам». Это были: 1) способы измерения земельных площадей в форме квадратов, круга, трапеции и других планиметрических фигур; 2) способы вычисления мер сыпучих тел (зерна при меновых сделках); 3) способы пропорционального деления; 4) способы измерения длины межевых полос земельных участков — извлечение квадратных и кубических корней; 5) способы вычисления объема земляных работ в строительстве городских стен, дамб, плотин, каналов; 6) вычисления, связанные с равномерным распределением обязанностей по перевозке продовольствия; 7) решения уравнений первой степени с двумя неизвестными; 8) решения системы уравнений первой степени; 9) формулировка теоремы гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника.
55
Чжоу-гун (XI век до н. э.) ? сын легендарного Вэнь-вана и брат У-вана, основателя династии Чжоу. После смерти У-вана в течение ряда лет был регентом, правителем при малолетнем Чэн-ване. Почитается в Китае как выдающийся государственный деятель и ученый.