В этой книге было собрано 246 арифметических и алгебраических задач, задач по планиметрии и стереометрии. Собственно арифметическая часть работы включала уже задачи на все четыре арифметических действия с дробями и процентами, а также способы нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя группы чисел. Алгебра была представлена действиями с положительными и отрицательными числами.
Кстати, раз уже речь зашла об отрицательных количествах, следует отметить, что действия над ними китайские математики начали производить раньше, чем в какой бы то ни было другой стране. В Индии с отрицательными количествами научились иметь дело лишь после VI века; в Европе их не понижали до середины XVI столетия.
В «Искусстве счета в девяти главах» объяснялись способы решения системы уравнений 1-й степени, предлагались задачи на уравнения 2-й степени. Впоследствии Цзу Чун-чжи и математик Ван Сяо-тун, живший в эпоху Тан (VII–X века), расширили и дополнили приемы решения системы линейных уравнений, вычисление действительных корней квадратных уравнений и уравнений 3-й степени. В XI веке Цзя Сянь предложил метод приближенного решения алгебраических выражений. В работе Цин Цзю-шао «Девять отделов математики» («Шушу цзю чжан»), появившейся в 1247 году, и в работе математика Ли Чжи «Измерения круга по всем разделам» (Цеэ юань хай чжан») этот метод нашел дальнейшее развитие. Это был прием вычисления действительных корней алгебраических уравнений любой степени с численными коэффициентами, во многом совпадающий с методом, известным ныне как «метод Горнера», хотя Горнер открыл его только в 1819 году.
Если мы захотим записать формулу вычисления биноминальных коэффициентов, то она будет выглядеть так:
(a + b)1=a + b;
(a + b)2=a2+2ab + b2;
(а+b)3=а3+За2Ы- 3ab2 + b3;
(а + Ь)4=а4Ч-4а8Ы-6аЬ2 + 4аЬ3 + Ь4;
(а4-Ь)6=а54-5а4Ы-10а3Ь2+10а2Ь3 + 5аЬ4 + Ь5.
Ту же, по существу, формулу для составления биноминальных коэффициентов можно, оказывается, записать в виде треугольной числовой таблицы, значительно облегчающей дело. По боковым сторонам треугольника стоят единицы, внутри каждое число образуется сложением двух чисел, стоящих над ним.
Возьмем, например, число из основания треугольника. Оно образуется сложением стоящих над ним 20 и 15. Таким образом, каждая сторона треугольника дает нам биноминальные коэффициенты для разложения соответствующей степени бинома.
Этот треугольник известен в Европе как «треугольник Паскаля», названный по имени французского математика Блеза Паскаля (1623–1662 годы), который описал этот способ вычисления биноминальных коэффициентов в 1654 году в своем «Трактате об арифметическом треугольнике». Впервые в Европе этот прием был открыт в 1527 году.
В Китае приведенный выше треугольник для вычисления биноминальных коэффициентов знал уже математик Ян Хуэй, живший в конце Южной Сунской династии (XIII век).
Ян Хуэй дал в своей работе «Подробное объяснение метода счета в девяти главах» («Сян цзе цзю чжан суань фа») (около 1261 года) схему такого треугольника, «показывающую основы способа извлечения корней». Согласно комментарию, который дал Ян Хуэй, этот метод был известен еще Цзя Сяню. Цзя Сянь, живший в середине XI века, да? толкование
«Искусства счета в девяти главах» по более ранним источникам. Проследить эти источники не представляется возможным, и, следовательно, мы не можем установить имя математика, впервые применившего приемы вычисления числовой таблицы, но даже если остановиться на Цзя Сяне, то и он жил и работал на 400–500 лет раньше европейцев.