Схема Ян Хуэя дает треугольную числовую таблицу для разложения степеней бинома, по шестую включительно. В книге китайского математика Чжу Ши-цзе «Зеркало четырех начал» («Сы юань юй цзянь»), написанной около 1303 года, приводится арифметический треугольник для составления биноминальных коэффициентов, позволяющий производить разложение бинома восьмой степени.
В книге «Классическая арифметика Сунь-цзы» («Сунь-цзы суань цзин»), написанной около III века, мы находим оригинальный способ решения задачи, изложенной следующим образом: «Найти число, которое при делении на 3 дает в остатке 2; при делении на 5 — в остатке 3; при делении на 7 — в остатке 2».
Ответ: «23». К нему приходим следующим образом.
Возьмем произведение (или удвоенное произведение) двух любых делителей из числа трех предложенных и разделим на оставшийся третий; при этом в остатке всегда должна быть единица.
(5х7) х 2 = 70, при делении на 3 в остатке 1;
(3 х 7) = 21, при делении на 5 в остатке 1;
(3 х 5) = 15, при делении на 7 в остатке 1.
Затем остаток от деления искомого числа на 3, то есть 2, помножим на 70; получим 140. Остаток от деления искомого числа на 5, то есть 3, помножим на 21; получим 63. Остаток от деления на 7, то есть 2, помножим на 15; получим 30.
Сумма трех произведений: 140+63+30 = 233.
Если эта сумма не превышает их наименьшего общего кратного — 105 (3х5х7), она и есть искомое; если превышает, надо вычесть из нее число 105, умноженное на 2, и искомым числом будет эта разность.
Описание этого метода дается в трактате математика Цинь Цзю-шао (XIII век) «Да янь цю и шу», вошедшем в его знаменитые «Девять отделов математики» ? («Шушу цзю чжан») 1247 год [57]. Похожий просто на пример по занимательной математике, метод нашел практическое применение, например в календарных расчетах. Как известно, год это 365 с лишним дней, а месяц — 29 с лишним. Каждые несколько лет накоплявшийся остаток нарушал первоначальную точность счисления, и в случаях, когда требовалось перенестись на несколько лет назад и найти исходную точку, одинаковую к данному сезону сельскохозяйственного года — новолуние, температура, — применяли этот метод вычисления.
Исследования, которые мы находим в математическом трактате «Классическая арифметика Сунь-цзы» и в работах Цинь Цзю-шао, хронологически появились намного раньше аналогичных исследований европейских ученых. Леонард Эйлер (1707–1783 годы) пришел к подобному выводу лишь в 1734 году. Теорема разностей — великий вклад китайских ученых в историю мировой математики. Проникнув в XIX столетии в Европу, теорема привлекла исключительное внимание европейских математиков, и они приступили к исследованию исчисления конечных разностей.
В рамках небольшого рассказа трудно перечислить все достижения китайских ученых в различных областях математической науки. То немногое, с чем мы познакомились, — лишь часть огромного вклада математиков древнего Китая в мировую математическую мысль.
ВОДНОЕ ХОЗЯЙСТВО
Прочитав главы об астрономии и метеорологии в Китае, вы узнали, как древние китайцы изучали природу, как они использовали добытые и накопленные знания в интересах земледелия.
Это рассказ о том, как они начали покорять стихию, как заставляли природу служить человеку.
Непокорная Хуанхэ… Ровно и спокойно текут ее послушные воды. И вдруг вырываются из берегов и рушат, сокрушают, смывают все на своем пути: посевы, жилища, дороги ? все, что есть живого и созданного человеком, все скрывается под желтыми водами разбушевавшейся стихии, этого «горя Китая».
А засуха?..
И вот, чтобы обезопасить себя от неисчислимых потерь, приносимых стихийными бедствиями, китайцы стали покорять природу: бороться с наводнениями и засухой, укрощать стихию — воду — и направлять ее по каналам для борьбы с другой стихией-засухой.
Предание говорит, что свыше четырех тысячелетий назад Хуанхэ, берущая свое начало на горных хребтах Куэнь-Луня и вообще не имевшая тогда постоянного русла, вырвалась в паводок и стала метаться, как бешеное дикое животное, ничего невидящее на своем пути, так что над ее «взмыленными от бега» волнами возвышались лишь горы… А укротил ее человек по имени Юй, прозванный после этого Великим. Девять лет расчищали люди под его руководством русло для заблудившейся на материке Хуанхэ и расчистили, отвели реку в море, а затоплявшиеся ею поля отдали землепашцам…
(Такое наводнение действительно имело место около 2287 года до н. э., это подтверждается наиболее древними историческими документами. ? Прим. пер.).
Многовековая борьба за обуздание Хуанхэ научила китайцев строить гидротехнические сооружения, воспитала немало талантливых специалистов водного хозяйства, применявших в строительстве подлинно научные методы.
57
Насыщенное примерами описание регулярного алгоритма для решения задач типа предложенной выше дается в «Классической арифметике Сунь-цзы» и более полно — в «Да янь цю и шу» Цинь Цзю-шао, Много позднее решение таких задач было найдено немецким математиком Гауссом.