Верны также и утверждения 1 и 2, в которых говорится, что поверхность жидкости в спокойном состоянии представляет собой шар с центром, расположенном в центре Земли: «Поверхность установившейся неподвижно жидкости имеет форму шара с тем же центром, что и у Земли». Утверждение 3 являет собой небывалый уровень абстракции: если у тела та же плотность, что и у жидкости, в которую оно погружено, то тело остается неподвижным в том месте жидкости, куда его поместили, то есть находится в состоянии статического равновесия. С другой стороны, если в жидкость погружается тело, плотность которого меньше плотности жидкости, то оно будет погружено в нее только частично. Этот вывод изложен в утверждении 4, а развивает его утверждение 5 (см. рисунок): объем жидкости, вытесненной погруженной частью тела, будет иметь вес, равный весу всего тела. Речь идет о явном предшественнике принципа равнодействия сил, который стал известным благодаря Ньютону. Простой способ понять его — это опустить в воду винную бутылку с примерно стаканом воды внутри: она погрузится частично.
В трактате «О плавающих телах» все доказательства чисто геометрические, как обычно и бывало в то время. Данный рисунок относится к утверждению 5 первой книги в издании Хита. Текст полон подобными рисунками, которые снабжаются пространными геометрическими комментариями. Они приводятся в качестве иллюстраций, ведь такие тексты трудны для восприятия, потому что изобилуют математическими терминами и символами.
В утверждении 6 говорится, что если к телу, находящемуся в жидкости с большей, чем у него, плотностью, приложить силу, на тело начнет действовать направленная вверх выталкивающая сила, которая заставит его всплыть и плавать на поверхности, уменьшив его вес. В утверждении 7 мы находим идею, согласно которой, если мы опустим тело в жидкость с меньшей, чем у него, плотностью, оно опустится на дно сосуда, хотя его вес тоже уменьшится. В обоих случаях Архимед показывает, насколько уменьшится вес тела: «На количество, равное весу жидкости, объем которой совпадает с объемом твердого тела». Это и есть, иными словами, знаменитый закон Архимеда.
Мертвое море — это большое озеро около 80 км в длину и не больше 16 км в ширину, расположенное на границе Израиля и Иордании. Главная его отличительная особенность состоит в том, что из-за очень высокого содержания солей вода в нем по плотности намного превосходит обычную морскую воду, доходя до 1240 кг/м³, что позволяет человеку без какого- либо труда лежать на ее поверхности. Как можно понять из его названия, в Мертвом море не может жить никакое живое существо, кроме некоторых видов оомицетов и высших грибов.
В Мертвом море купающиеся лежат на поверхности воды, как поплавки.
Закон рычага
Многие историки науки считают трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур» началом математической физики. И это, несомненно, не преувеличение, хотя и у философов предыдущей эпохи можно найти рассуждения о рычаге. Так, примерно за век до Архимеда Аристотель писал об элементах рычага и сформулировал «закон равноплечего рычага», однако, насколько можно судить, данные выкладки не привлекли к себе особого внимания; впоследствии даже было высказано мнение, что они вставлены в текст философа позднейшим переписчиком. С другой стороны, интересны изыскания Архита Тарентского (430-360 до н. э.), которые, впрочем, не вышли за пределы чисто экспериментальных конструкций. Архимед, конечно же, не был первым, кто воспользовался рычагом, но он впервые описал его принцип, связав воедино математику и физику.
Одно из первых упоминаний закона рычага, хотя и не в научном смысле, мы находим в комедии «Мир» древнегреческого драматурга Аристофана (444-385 до н. э.), написанной в 421 году до н. э. В этом произведении автор выводит различных современных ему деятелей, включая Эврипида. Горожанин Тригей насмехается над торговцем оружием, советуя ему использовать трубу как неравноплечие весы.
Тригей Постой, дружок!
Жмет в мягком месте. Не куплю! Неси назад!
Торговец оружием А с этой боевой трубой что делать мне?
Ведь за нее я отдал шесть десятков драхм.
Тригей Сюда в воронку жидкого свинца нальем, прицепим
сверху небольшую палочку, и коттаб превосходнейший получится.
Торговец оружием Ты все смеешься?[1 Перевод А. Пиотровского.]
Исторические рассказы из первой главы нашей книги показывают, что использование рычага в повседневной жизни было для Архимеда обычным делом — как при постройке машин для обороны Сиракуз, так и при других работах. Уровень абстракции, до которого дошел Архимед при исследовании рычага, не имел до этого прецедентов: он устранил все привходящие характеристики, рассматривая исключительно идеальные весы, а все тела считая точечными объектами (он говорил о силе и о центре тяжести как о единственных физических свойствах тела). Таким образом, в своем трактате Архимед пользуется концепцией идеальных весов, хотя и не формулирует ее в чистом виде. Самые простые по конструкции весы представляют собой подвешенную за середину рейку с висящими с двух сторон чашками. Когда вес предметов, лежащих на чашках, равный, конструкция сбалансирована в равновесии. Само понятие «баланс» происходит от двух латинских слов — bis (два) и lanx (чаша). И, таким образом, весы представляют собой типичный равноплечий рычаг.
Р: сила. Эта приложенная сила может представлять собой определенный вес.
R:сопротивление. Сила, которая сопротивляется приложенной силе и тоже может выражаться в подвешенном весе.
Вр: плечо силы. Участок рычага между точкой приложения силы и точкой опоры.
BR: плечо сопротивления. Участок рычага между точкой сопротивления и точкой опоры.
Простой рычаг (см. рисунок) состоит из жесткой балки, которая может свободно вращаться вокруг точки подвеса или опоры. В этой балке различают две части — плечо силы (к которому прикладывается усилие) и плечо сопротивления (на него передается усилие). Используется столь простой механизм следующим образом: нагружается одно плечо рычага или к нему прикладывается усилие, после чего достигается равновесие, или же система выводится из равновесия. Закон рычага устанавливает соотношение между силами, воздействующими на каждое плечо рычага, и длинами плеч: соотношение сил равно соотношению расстояний от точек приложения этих сил до точки опоры. Данная пропорция и есть одно из главных достижений Архимеда, который разработал следующую математическую формулу:
Р • Вр = R • Br.
В средней школе любой страны обычно изучают три типа рычагов. Поскольку рычаг включает в себя три различных элемента (плечо силы, опора и плечо сопротивления), то в зависимости от их взаиморасположения мы можем разделить рычаги на три типа. Примеры всех трех типов можно найти в строении человеческого тела (рисунок 3). Архимед в своих трактатах сформулировал закон рычага, но не классифицировал различные типы рычагов — возможно, это казалось очевидным. Тем не менее не лишним будет вспомнить данную классификацию.