Поэтому ясно, что количество песчинок, равное по размеру сфере неподвижных звезд, наличие которой предполагает Аристарх, меньше, чем 1000 мириад «восьмых» чисел.
Архимед о том, какое количество песчинок необходимо, чтобы заполнить Вселенную
В то время не существовало названий для чисел, обозначающих настолько большие количества. Поэтому Архимед взялся за реформу системы счисления, предложив внести в нее некоторые изменения, чтобы иметь возможность оперировать большими числами. Принципиальное ограничение древнегреческой числовой системы состояло в том, что для обозначения чисел использовались буквы, и это вносило в операции с большими числами настоящий хаос. С концептуальной точки зрения Архимед в своем трактате делает попытку приближения к нынешней числовой системе, которая позволяет нам записывать по желанию любые самые большие числа. «Исчисление песчинок» не нужно считать просто математическим развлечением — в этом труде ученый касается греческой астрономии и прямо упоминает своего отца, астронома Фидия, как мы увидим чуть позже. Архимед начинает «Исчисление песчинок» с пояснения, что он понимает под «миром», и излагает здесь мнение большинства астрономов: мир — это шар, в центре которого находятся Земля и Солнце. Он не поддерживает гелиоцентрическую гипотезу Аристарха Самосского (310-230 до н. э.). Но интересно, что он отвергает ее не потому, что считает невозможным движение Земли, как это делали последующие поколения астрономов, а из-за неувязки, описанной так:
«[...] [Аристарх Самосский] полагает, что Земля обращается вокруг Солнца по окружности круга, расположенной посредине между Солнцем и неподвижными звездами, а сфера неподвижных звезд имеет тот же центр, что и у Солнца, и так велика, что круг, по которому, как он предположил, обращается Земля, так же относится к расстоянию неподвижных звезд, как центр сферы к ее поверхности. Но хорошо известно, что это невозможно: так как центр сферы не имеет никакой величины, то нельзя предполагать, чтобы он имел какое-нибудь отношение к поверхности сферы».
Несмотря на то что Архимед легко заметил логическое несоответствие в приравнивании точки к поверхности, в данном случае он прячется за аргументацией ad logicam, то есть просто прибегает к уловке. То, что фраза неправильно построена, не значит, что аргументация Аристарха ошибочна. Так или иначе, он сообщает Гелону, что числа, которыми он будет оперировать, превосходят даже число песчинок, которыми можно было бы заполнить всю Вселенную. Затем он делает предположение, что земная окружность составляет 300 мириад стадиев, и напоминает: Земля больше Луны и меньше Солнца. Одна мириада — это 10000. Тем не менее сопоставление стадия с мерами длины нынешней Международной системы представляет собой некоторую проблему: в древности стадий не был неизменной единицей длины, он был разным. В любом случае здесь важна не точность измерения Земли, а стремление Архимеда показать, что он может записать любое число. В этой работе он рассуждает также о соотношении диаметров Солнца, Земли и Луны. Как раз здесь он упоминает своего отца:
«Таким образом, диаметр Солнца в 30 раз больше диаметра Луны и не более того, хотя среди прежних астрономов Евдосий считал, что он больше в 9 раз, мой отец Фидий — что в 2 раза, а Аристарх пытался доказать, что диаметр Солнца более чем в 18 раз больше диаметра Луны, но менее чем в 20».
Хотя можно отметить, что тема измерения небесных тел всегда была интересна астрономам, Архимед касается ее только походя, чтобы детально описать изготовление диоптра — инструмента, который греческие астрономы использовали для замеров положения звезд. Он вскоре заканчивает рассуждения о размерах, чтобы перейти к своей новаторской числовой системе. Что касается последней, по-видимому, до нас не дошел труд, о котором он пишет:
«Но я полагаю, что было бы полезным также поговорить о названиях чисел — среди прочего, чтобы не пропало то, что я написал в книге, посвященной Зевксиппу, поскольку по этому вопросу раньше никто ничего не говорил. На самом деле получается, что известные наименования чисел доходят до нескольких мириад. Здесь же называются числа до мириад мириад».
В итоге Архимед вводит последовательные возрастающие порядки чисел, замечая, что так можно обозначить любое число. Описав числовую систему, он выполняет ряд оценочных расчетов: например, он предполагает, что в одном маковом зернышке умещаются 10 000 песчинок. В конце концов он доходит до числа песчинок, которым можно было бы заполнить Вселенную. В нашей системе записи это было бы 1063, то есть единица и после нее 63 нуля.
Октады Архимеда
Предложенная Архимедом в «Исчислении песчинок» числовая система известна как система октад, и в свое время у нее был большой потенциал, хотя она и осталась неизвестна большинству математиков. Вплоть до эпохи Архимеда использовались следующие термины: единица, десяток, сотня, тысяча и мириада (10000). Он же предложил пойти дальше мириады. Дойдя до конца цифр, он решил разбить их на восемь разрядов — вышеперечисленные цифры и их произведения.
| Архимед | Математическая запись | Название |
| Единица | 1 = 100 | Один |
| Десяток | 10 = 101 | Десять |
| Сотня | 100 = 102 | Сто |
| Тысяча | 1000 = 103 | Тысяча |
| Мириада (единица мириад) | 10000 = 104 | Десять тысяч |
| Десяток мириад | 10-10000 = 105 | Сто тысяч |
| Сотня мириад | 100-10 000 = 106 | Миллион |
| Тысяча мириад | 1000-10 000 = 107 | Десять миллионов |
| Мириада мириад | 10000-10000 = 108 | Сто миллионов |
Таким образом, мы имеем систему, основой которой является 108 — число, именуемое октадой. Каждый раз при превышении этого цикла число переходит из одного разряда в другой со следующими названиями.
| От 1 до 108 - 1 | «Первые числа», первое число этого разряда — 1 |
| От 108 до 1016-1 | «Вторые числа», первое число этого разряда —108 |
| От 1016 до 1024 - 1 | «Третьи числа», первое число этого разряда —1016 |
| и так далее |