Следовательно, мы можем дойти до 108 в степени 108, и все это — числа «первого периода». Дальше счет может перейти ко второму периоду, третьему периоду и так далее. Наибольшее число, которое называет Архимед, это «мириадно мириадный» период, то есть
или же единица с 80 трлн нулей (80000 1012) ... Действительно невероятное число!
В заключении «Исчисления песчинок» Архимед приходит к утверждению, что во Вселенной может поместиться 1000 мириад восьмых чисел (1056) песчинок. Это значит, что число песчинок, которыми можно заполнить Вселенную, составляет 103 • 104 • 1056 = 1063.
Сегодня такие величины в некоторых областях науки и технологии обычны. Во Вселенной, например, содержатся 1082 протонов, а самое большое из имеющих название число — это гугол, то есть 10100 (1 и сотня нулей). Термин гугол придумал в 1938 году Милтон Сиротта, девятилетний внук американского математика Эдварда Казнера. Любопытный факт: название поисковой системы Google произошло как раз от английского написания слова «гугол» (googol). А в Калифорнии штаб-квартира Google называется Googleplex, что напоминает о гуголплексе — термине, который Казнер использовал для числа 10googol, то есть 10 в степени, которая выражается единицей со 100 нулями.
ГЛАВА 3
Защитник кругов
Эпоха Архимеда представляет собой водоворот открытий и исследований в области математики. Многие талантливые ученые посвятили себя этой науке, и все же Архимед выделяется среди них тем, что он ввел новые методы и анализировал уже известные результаты со своей собственной точки зрения. Он вошел в историю благодаря вычислению приближения числа п и улучшению метода исчерпывания, необходимого для определения объемов и площадей криволинейных геометрических фигур.
Хотя широкая публика знает Архимеда как физика и механика, большинство его научных трудов посвящены математике. Он даже просил выбить на его могиле символы одной из решенных им геометрических задач. Ученый занимался практически всеми проблемами, актуальными для его времени; находил новые доказательства и создавал новые методы. Он поднял методы исчерпывания и доведения до абсурда до невиданных в ту эпоху высот. Также Архимед вплотную подошел к исчислению бесконечно малых величин и интегральному исчислению и смог использовать свои открытия в области рычага для получения новых математических результатов. В этой главе мы рассмотрим некоторые из важных достижений, описанных в его трудах, начиная с тех методов, которые ученый применял в своих исследованиях для анализа особых случаев.
Методы Архимеда
Научный успех Архимеда почти полностью основан на используемой им методологии. В целом применяемые ученым методы можно разделить на две группы: первая направлена на поиск интересующего его решения (механический метод), а вторая — на доказательство верности полученного результата. В работах Архимеда часто встречаются цитаты из текстов Евклида и других более ранних математиков, то есть он приводит многие решения как само собой разумеющееся и для краткости говорит о них в своих трудах, словно они всем известны. Таким образом, мы видим математика, который работает с достойными доверия источниками и умеет извлекать из них материал, необходимый для его собственных исследований. В наши дни для любых доказательств мы используем алгебраический язык (формулы с буквами, цифрами и математическими символами), но в рассматриваемое нами время, когда жил Архимед, такого языка еще не существовало. Вот почему его тексты нелегки для современного читателя, ведь все его рассуждения основываются на чисто геометрических понятиях. Далее мы представим некоторые математические открытия Архимеда и постараемся реконструировать путь его мысли, хотя для этого нам и придется прибегать к языку алгебры.
Из книги «Метод механических теорем» можно понять, что Архимед не скрывал свои методы от научного сообщества того времени, как мы уже показывали на примере константинопольского палимпсеста. В частности, он отправил этот труд Эратосфену, решив, что в данном случае он попадет в хорошие руки и сможет послужить получению новых интересных результатов.
Несмотря на то что Герои цитирует эту книгу в своем трактате «Метрика», многие источники описывают Архимеда ученым, ревниво относившимся к своей работе и не склонным популяризировать свою методологию. К счастью, в 1906 году исследователь-эллинист Гейберг обнаружил «Метод» и другие труды ученого, содержащиеся в палимпсесте. На самом деле Архимед охотно обнародовал и свои открытия, и научные методы, приведшие к этим открытиям. Он даже побуждал Эратосфена воспользоваться его методикой, уверяя последнего, что «можно было бы использовать этот путь для того, чтобы достичь определенных научных результатов посредством механики».
[...] написав это, обнародовать данный метод потому, что я о нем уже раньше упоминал — а я не хочу, чтобы казалось, будто я занимался пустой болтовней, — а также и потому, что я убежден: он принесет немалую пользу для математики.
Из письма Архимеда Эратосфену в «Методе»
Таким образом, в данной работе Архимед объясняет собственный механический метод. Кроме механического метода трактат содержит и геометрический (метод исчерпывания), приписываемый Евдоксу. Механический метод здесь использован исключительно для приблизительного решения задач, которые требуют затем более строгого и убедительного доказательства геометрическими методами:
«[...] Ведь некоторые вещи, которые я сначала представлял механическим способом, затем были мной доказаны с помощью геометрии, [...] легче построить решение, уже имея определенные знания об исследуемых вещах, чем искать его без какого-либо начального знания».
После обращения к Эратосфену автор переходит к изложению 11 лемм, где содержится определение центра тяжести.
Здесь важно заметить, что он приводит как нечто само собой разумеющееся некоторые результаты из собственной работы «О равновесии плоских фигур». Трактат дошел до нас не полностью — из него сохранились 16 утверждений с некоторыми важными уточнениями. В первых 11 автор представляет механический метод сам по себе, а в остальных описывает весь процесс, включая последующее доказательство с помощью вышеупомянутого метода исчерпывания. Архимед затрагивает большое количество вопросов, которые он уже исследовал в предыдущих трудах: например, квадратура сегмента параболы — темы, изложенной в книге «О квадратуре параболы». Первое утверждение трактата, проиллюстрированное на рисунке на следующей странице, звучит так:
«Пусть АВС — сегмент, заключенный между отрезком прямой АС и параболой АВС; поделим АС напополам точкой D и проведем прямую DBE параллельно оси параболы, а также отрезки АВ, ВС. Я утверждаю, что сегмент параболы АВС по площади равен четырем третьим треугольника АВС». («Метод механических теорем», утверждение 1.)