С небольшим трактатом «Стомахион» произошло то же самое, что и с «Методом»: на протяжении истории было множество свидетельств его существования, но найден он был лишь в 1906 году с открытием константинопольского палимпсеста. В IV веке Авзоний и Марий Викторин говорили о Loculus Archimedius (шкатулке Архимеда) из 14 пластинок слоновой кости, которые вместе составляют квадрат. Все, что осталось от трактата,— это изложение способа деления квадрата на 14 частей (рисунок 1). Кроме того, там приводятся соотношения площадей фрагментов и полного квадрата. Не очень понятно, было ли это главным содержанием «Стомахиона»: хотя некоторые усматривают здесь начало комбинаторики, другие считают данное описание не более чем развлечением, чем-то вроде пазла или танграма.
РИС. 1
Если мы наложим фигуры из «Стомахиона» на квадрат стороной в 12 клеток, площадь каждой фигуры будет такой же, какой она обозначена на рисунке. Простой способ воспроизвести данные фигуры — взять листок бумаги в клеточку. Числа на фигурах обозначают их площадь.
Лишь в 2003 году удалось провести строгий комбинаторный анализ, который показал, что существуют 17152 способа сложить фигуры из «Стомахиона» в целый квадрат, и это если не принимать во внимание возможность их поворота или зеркального отражения (рисунок 2).
Перемещая фрагменты, можно не только составить квадрат, но и создавать веселые фигурки вроде этого слона.
Воспроизведение геометрического чертежа, которым воспользовался Архимед, чтобы выяснить соотношение площадей сегмента параболы и вписанного в него треугольника. Основой для данного решения служит механический метод.
В древнегреческой математике в какой-то момент начался серьезный кризис, связанный с так называемыми невыразимыми числами, которые не могут быть представлены отношением целого числа к натуральному. В настоящее время такие числа называются иррациональными. Такое их свойство вызвало большие проблемы при сравнении криволинейных и прямолинейных фигур. Это значит, что греки сталкивались с серьезными сложностями, если хотели вычислить площадь круга или иных фигур, ограниченных кривыми, а также и некоторые другие величины, например диагональ квадрата. Данная проблема была частично решена благодаря методу исчерпывания, который можно считать предшественником современного исчисления бесконечно малых величин и вычисления предела. Уже Евклид использовал его в некоторых построениях в своих «Началах», а Архимед применял его в течение всей своей математической карьеры. И именно он назвал автором этого метода Евдокса во вступлении к своему трактату «Метод механических теорем».
Невозможно найти во всей геометрии более сложные и более важные вопросы, изложенные столь простыми и столь понятными словами, как в теоремах, созданных божественным разумом Архимеда.
Плутарх (46/48-125/127 н. э.), историк
Метод исчерпывания и сейчас известен под таким названием. Само выражение «метод исчерпывания» было впервые введено бельгийским математиком Грегуаром де Сен-Венсаном (1584-1667), а затем распространилось повсеместно.
Чтобы использовать данный метод, мы вписываем многоугольник в криволинейную фигуру и описываем его вокруг нее. Это значит, что криволинейная фигура получается зажатой изнутри и снаружи. Теперь последовательно увеличиваем количество сторон у внутреннего многоугольника и у наружного, чтобы они как можно больше приближались по конфигурации к криволинейной фигуре. Метод исчерпывания, таким образом, можно считать общим понятием, которое раскладывается на две процедуры.
— Исчерпывание: многоугольная фигура вписывается в криволинейную вплоть до исчерпывания последней, то есть так, чтобы осталось как можно меньше непокрытой площади.
— Сжатие: многоугольная фигура описывается вокруг криволинейной вплоть до того, как останется как можно меньше лишней площади.
Действительно, мы можем найти настолько близкий к площади криволинейной фигуры многоугольник, насколько пожелаем. Данное положение носит название «аксиома Архимеда» (хотя подобная мысль была определенным образом выражена уже в евклидовых «Началах»). В современных терминах это означает, что если вы берете отрезок любой длины и отнимаете от него больше половины, а от его остатка снова отнимаете больше половины и так далее, то можно получить отрезок сколь угодно малой величины.
Большой шаг вперед при использовании аксиомы Архимеда состоит в идее приближения. Греческие математики искали точные и абсолютные ответы, из чего и строились их методы. С аксиомой Архимеда же любой человек, желающий узнать, например, площадь некоей фигуры, может подойти к решению сколь угодно близко, хотя и не получит точного ответа. В методологии Архимеда этот прием занимал действительно большое место, так что он даже обосновал его точным геометрическим доказательством: если имеется криволинейная фигура, можно с помощью метода двойного доведения до абсурда доказать, что ее площадь равна значению, полученному методом исчерпывания. Логическая последовательность такова.
— Дана криволинейная фигура с площадью S.
— Предполагается, что ее площадь составляет Т (это и является предметом проверки).
— Следует доказать, что S = Т.
— Сначала доказывается, что не может быть S<T.
— Затем — что не может быть S>T.
— Поскольку S не может быть ни меньше, ни больше T, следовательно, S=T.
Невсис, что можно перевести с древнегреческого как «наклон», это техника геометрических построений. Она состоит в том, чтобы построить отрезок определенной длины между двумя кривыми так, что он (или его продолжение) пройдет через заданную точку. Речь идет о ручном построении: на линейке отмечаются две крайние точки отрезка, а затем линейка сдвигается, пока данные точки не лягут на соответственные кривые. Можно сказать, что это такой геометрический «счет на пальцах».
Под влиянием платоновского идеализма, который пронизывал греческую математику во времена Архимеда, все математические доказательства делились в соответствии с определенной иерархией, отражавшей их красоту и изящество. Если что-то можно было выполнить при помощи линейки и циркуля, надо было пользоваться только этими инструментами. Если нет, то задача «спускалась» на второй уровень, как, скажем, конические сечения. К невсису допускалось прибегать только в тех случаях, когда другое решение отсутствовало. Архимед использовал невсис во многих ситуациях, например в утверждениях 5-9 книги «О спиралях», но мы остановимся подробно на трисекции угла (см. рисунок), описанной им в утверждении 8 «Книги лемм».
Трисекция угла с помощью невсиса.
— Дан угол АВС, который следует разделить на три.
— Проводится окружность с центром В любого радиуса, которая пересекает луч В А в точке Р, а луч ВС в точке Q, луч ВС продолжается до прямой, пересекающей окружность в точке R.
— Затем от точки Р проводится прямая STP таким образом, чтобы точка S лежала на прямой CQBR, а Т — на окружности, и при этом выполнялось условие ST = BQ = ВР = ВТ. (Эта операция как раз требует применения невсиса и линейки с разметкой.)