«Поверхность, ограниченная описанной спиралью при первом обороте, составляет третью часть круга, которого она касается».
Вышесказанное Архимед доказывает методом исчерпывания (см. рисунок), а также он использует доказательство от противного, заключив, что площадь образованной фигуры не может быть ни больше, ни меньше трети круга.
После первого оборота спираль ограничивает площадь, равную 1/3 площади окружности, в которую спираль вписана.
Спирали — это кривые, образуемые точкой, совершающей вращение вокруг некоего центра, одновременно удаляясь от него с каждым оборотом. Разнообразные спирали можно наблюдать в природе: у растений, в раковинах моллюсков и так далее — неудивительно, что математики давно заинтересовались ими. Среди творений рук человеческих тоже часто встречаются спирали — например, на виниловых дисках или в виде пружин. Вот некоторые типы спиралей:
РИС. 1
РИС. 2
РИС.З
РИС. 4
— архимедова, или арифметическая спираль (рисунок 1). Она описывается уравнением r=а + bθ;
— спираль Ферма, или параболическая спираль (рисунок 2): r=θ½;
— гиперболическая спираль (рисунок 3). Это инверсия архимедовой спирали, ее уравнение: r=а/θ;
— логарифмическая, или изогональная спираль (рисунок 4): r=logb(r/a).
Тремя знаменитыми проблемами древности были удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Некоторые специалисты утверждают, что глубинной целью, которую Архимед преследовал в своем трактате «О спиралях», было найти решение двух из этих задач. Действительно, с помощью спирали можно справиться с трисекцией угла и квадратурой круга, хотя при этом придется пренебречь одним из начальных условий. Задачу надо было решать исключительно с помощью циркуля и линейки, а построение спирали нуждается в кинематических операциях. В 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал невозможность трисекции угла и удвоения куба при помощи только линейки и циркуля. Потом в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что π — иррациональное число, а следовательно, и решение задачи квадратуры круга с помощью этих инструментов тоже невозможно. Если же выйти за пределы условий и применить архимедову спираль, то трисекцию угла можно выполнить следующим образом (рисунок 8).
РИС. 8
РИС. 9
— Угол, который предстоит делить, образован лучами ОА и ОВ.
— Луч О А вращается вокруг точки О, по нему равномерно перемещается точка Р, образуя таким образом архимедову спираль.
— При совпадении лучей ОА и ОВ отрезок ОР делится на три равные части точками R и Q.
— Проводятся окружности с центром О и радиусами OR и OQ которые пересекают спираль соответственно в точках U и V.
— Проводятся лучи из точки О, проходящие через U и V. Так мы получили трисекцию угла.
Задача о квадратуре круга, которая заключается в требовании построить квадрат, равный по площади заданному кругу, тоже может быть решена с помощью архимедовой спирали, хотя и опять же с некоторым нарушением условий (рисунок 9).
— Через точку Р проводится касательная к спирали PQ.
— Строится отрезок, соединяющий Р и центр спирали О.
— Из точки О проводится перпендикуляр к отрезку ОР до пересечения с прямой PQ в точке Q.
— Строится сегмент окружности PS с центром О и радиусом ОР.
— Можно доказать, что отрезок OQ равен по длине кривой PS.
— Отсюда выводится, что касательная к спирали в точке R будет пересекаться с горизонтальной осью, причем длина отрезка, образованного точкой О и точкой пересечения касательной и оси, будет равна четверти длины окружности с радиусом OR.
— С учетом утверждения о площадях круга и прямоугольного треугольника (см. стр. 88) задача о квадратуре круга решена.
Квадратура параболы
В трактате «О квадратуре параболы» Архимед излагает различные теоремы, ранее, как он пишет во введении, еще не изученные. Это значит, что он их сформулировал сам. Из утверждений, изложенных Архимедом в данном труде, популярная литература чаще всего упоминает утверждение 24, касающееся квадратуры параболы:
«Площадь поверхности, ограниченной параболой и пересекающей ее прямой, на 1/3 больше площади треугольника с основанием, равным отрезку данной прямой и высотой, равной параболе» (рисунок 10).
Архимед послал эту работу Досифею Пелузийскому — это был первый труд, отправленный им кому бы то ни было после смерти его друга Конона Самосского. Трактат «О квадратуре параболы» содержит 24 утверждения. В первых пяти Архимед представляет некоторые свойства этой кривой; в утверждениях с 6-го по 16-е он проводит механический анализ параболы, основываясь на законе рычага. В утверждении 17 впервые говорится о его решении задачи квадратуры параболы с помощью механического метода, а в следующих утверждениях ученый использует метод исчерпывания, чтобы окончательно доказать правильность найденного решения (утверждение 24).
Таким образом, Архимед решает задачу квадратуры сначала механическим методом, а потом, считая его недостаточно строгим, добивается того же результата с помощью классического геометрического метода исчерпывания. Интересно отметить, что квадратура параболы является первой известной работой Архимеда, в которой тот применяет механический метод. Существует еще и третье решение этой квадратуры, которое содержится в трактате «О методе механических теорем».
Как уже говорилось, чтобы доказать утверждение 24, Архимед использовал метод исчерпывания (рисунок 11). Начинает он, принимая результат за данное, то есть с утверждения, что Sp — площадь параболы, ST — площадь треугольника АВС, и тогда Sp= 4/3 ST. Шаги доказательства таковы.
РИС. 10
РИС. 11
— Провести хорду параболы (АС) и построить треугольник с основанием, совпадающим с этой хордой и третьей вершиной, совпадающей с вершиной параболы (В). При этом у параболы появляются еще две хорды АВ и СВ.
— Аналогично построить треугольники ADB и ВЕС.
— Такую операцию можно продолжать до бесконечности, причем получаемый многоугольник будет все более и более приближаться к параболе.