Утверждение 33
Поверхность всякого шара равна его учетверенному большому кругу.
Утверждение 34
Всякий шар в четыре раза больше конуса, имеющего основание, равное большому кругу шара, а высоту, равную радиусу шара.
Следствие [из утверждения 34]
Из доказанного ясно, что всякий цилиндр, имеющий основанием большой круг шара, а высоту, равную его диаметру, будет в полтора раза больше шара и что поверхность его вместе с основаниями будет в полтора раза больше поверхности шара.
Утверждение 42
Поверхность всякого сферического сегмента, который меньше, чем полушарие, равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента до окружности круга, являющегося основанием сегмента.
Утверждение 44
Всякий сферический сектор равен конусу, имеющему основание, равное поверхности сферического сегмента, соответствующего этому сектору, а высоту, равную радиусу шара.
Книга II
Архимед приветствует Досифея.
Ты уже просил меня написать доказательства для тех проблем, формулировки которых я посылал к Конону; при изложении большей части их приходится пользоваться теоремами, доказательства которых я уже послал тебе, а именно: [...]
Утверждение 3
Третья задача была такова: данный шар рассечь плоскостью так, чтобы поверхности получившихся сегментов находились бы друг к другу в отношении, равном заданному.
Утверждение 1
Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника.
Утверждение 2
Круг к квадрату со стороной, равной своему диаметру, относится, как И к 14.
Утверждение 3
Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых частей.
Утверждение 4
Всякая площадь, ограниченная эллипсом, имеет к кругу с диаметром, равным большему диаметру эллипса, то же самое отношение, что меньший диаметр эллипса к большему или к диаметру круга.
Утверждение 6
Площади, ограниченные эллипсами, находятся друг к другу в таком же отношении, как прямоугольники между диаметрами эллипсов.
Утверждение 19
Если дан сегмент какого-нибудь из коноидов, отсеченный перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого- нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него объемную фигуру и описать около него другую, состоящую из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, чтобы описанная фигура была больше вписанной на величину, которая меньше любой наперед заданной величины.
Утверждение 21
[...] Всякий сегмент прямоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к оси, будет в полтора раза больше конуса, имеющего те же самые основания и ось, что и сегмент.
Утверждение 27
Если какую-нибудь сфероидальную фигуру рассечь плоскостью, проходящей через центр и перпендикулярной к оси,
то половина сфероида будет вдвое больше конуса, имеющего то же самое основание и ту же ось, что и сегмент.
В книгах, которые были посланы через Гераклида, ты имеешь запись большей части тех ранее посланных Конону теорем, доказательства которых ты все время просил меня дать; в этой же книге я посылаю тебе запись некоторой части из оставшихся.
Утверждение 1
Если некоторая точка равномерно движется по какой-нибудь линии и на последней берутся две линии, то взятые линии будут иметь друг к другу то же самое отношение, что и времена, в течение которых точка прошла эти линии.
Утверждение 24
Площадь, заключенная между спиралью, описанной в течение первого оборота и первой из прямых, находящихся на начале вращения, будет третьей частью первого круга.
Книга I
Сделаем следующие допущения.
1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.
2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.
3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.
Утверждение 1
Тяжести, уравновешивающиеся на равных длинах, будут тоже равны.
Утверждение 2
Неравные тяжести на равных длинах не уравновешиваются, но перевешивает большая.
Утверждение 6
Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям.
Утверждение 7
И далее, если величины будут несоизмеримыми, то они точно так же уравновесятся на длинах, которые обратно пропорциональны этим величинам.
Утверждение 10
У всякого параллелограмма центром тяжести будет точка, в которой встречаются диаметры (то есть диагонали).
Утверждение 14
У всякого треугольника центром тяжести будет точка, в которой встречаются прямые, проведенные из углов к серединам сторон.
Книга II
Утверждение 8
У всякого сегмента, ограниченного прямой и параболой, центр тяжести делит диаметр сегмента так, что прилежащий к вершине сегмента отрезок в полтора раза больше отрезка у основания.
Архимед Гелону
Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества.
[...] Что касается меня, то я постараюсь показать тебе при помощи геометрических доказательств, которые ты можешь понять, что среди чисел, которые получили от нас название и опубликованы в адресованной (мной) Зевксиппу книге, некоторые превосходят не только число песчинок в объеме, равном заполненной, как мы сказали, Земле, но даже в объеме, равном миру. Как ты знаешь, большинство астрономов называют миром шар, центр которого совпадает с центром Земли, а радиус равен прямой, заключающейся между центрами Солнца и Земли. Но Аристарх Самосский [...] предполагает, что неподвижные звезды и Солнце находятся в покое, а Земля обращается вокруг Солнца по окружности, расположенной посредине между Солнцем и неподвижными звездами, а сфера неподвижных звезд имеет тот же центр, что и у Солнца, и так велика, что круг, по которому, как он предположил, обращается Земля, так же относится к расстоянию неподвижных звезд, как центр сферы к ее поверхности. Но хорошо известно, что это невозможно, так как центр сферы не имеет никакой величины, то нельзя предполагать, чтобы он имел какое-нибудь отношение к поверхности сферы...