Кирилл посмотрел на часы – вот уже скоро время спать, а он еще толком ничего за сегодня не сделал. Поэтому – опять в забой:
Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами
«Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:
Pue.7
Фазовый угол (ax + ψe) определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как
В соответствие с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:
Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:
Параметр Em, соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют
комплексной амплитудой:
, а параметр –
комплексом мгновенного значения.
Параметр ejwt является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.
Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±а.
Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно
мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды Em и оператора поворота ejwt:
Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:
Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:
– то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу ψU, т. е. угол, который образует вектор Ūm с положительной полуосью + 1:
При записи выражения для определенности было принято, что Uim>0, т. е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах.
Если Uim<0, то при Unm>0 (второй квадрант)
Если задано мгновенное значение тока в виде i=!m sin{ωt+Ψi), то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:
Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.
Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока i3 по рис. 5 получим:
Глава четвертая. И хиромантия тоже
– Кирилл, сыграешь сегодня в преф? – перед последней субботней парой («Гадалкой») к Кириллу подошел Вадик. – Втроем интересно, но вчетвером же лучше. А ты, считай, уже месяца два с нами не садился!
– Не, парни, не могу. – Кирилл вздохнул. – Я бы с удовольствием, но времени нет вообще. Сегодня планирую взяться за реферат по ТРМ – его уже во вторник сдавать, а у меня еще и конь не валялся!
– Ну, как знаешь! – Вадик раздосадовано повел плечами. – Кстати! Это, конечно, не мое дело, но как у тебя с Варей?
– А что? – Кирилл сразу насторожился. – Вроде, все нормально!
– Да ничего. – Вадик помрачнел. – Ты извини, если лезу не в свое дело. Забудь, короче!
Вадик отошел, но Кирилл вдруг разволновался. Сказать по правде, близко они не общались с Варей уже несколько недель. Девушка старалась его не тревожить, и Кирилл не находил в этом ничего необычного. Она-то понимает, что он жутко занят!