А теперь давайте применим это к траекториям, которые может выбрать частица. Представим, что мы хотим поехать от А до С через В (рисунок 1). Вероятность добраться этим маршрутом рассчитывается как произведение вероятности поехать из пункта А в пункт В и вероятности поехать из пункта В в пункт С: Р(АВС) = Р(АВ) х Р(ВС).
С другой стороны, вероятность доехать из пункта А в пункт С все равно каким путем (рисунок 2) равна сумме всех вероятностей Р(АВС) путей, проходящих через любой пункт В. Предположим, что существует лишь три способа приехать в пункт С(Вр В2, В3). Вероятность тогда равна Р(АС) = Р(АВ1С) + Р(АВ2С) + Р(АВ3С). Однако в квантовой механике все работает совсем по-другому, так как необходимо возвести волновую функцию в квадрат, чтобы рассчитать вероятности. В первом случае мы должны умножить волновые функции, соответствующие каждому этапу пути, а затем возвести в квадрат. Во втором случае, как для каждой частицы в коробке, нужно сложить волновые функции (которые иначе называют амплитудами вероятности) каждого пути, затем возвести результат в квадрат. В конце 1941 года Фейнман спросил себя, может ли он описать формализм квантовой механики как амплитуды вероятности, соответствующие определенным траекториям, вместо того чтобы описывать его исключительно этими амплитудами, как делалось до него.
Чтобы описать квантовую систему, физики искали «оператор Гамильтона» (математический объект, связанный с общей энергией системы). После его определения они могли переходить к расчетам. Данный метод не работал в мире временных задержек Уилера и Фейнмана. Успеха можно было добиться, только применив формализм Лагранжа и принцип наименьшего действия. Если бы у них это не получилось, то все их усилия были бы тщетны. Но как их применить? Ответ пришел во время пивного фестиваля в таверне «Нассау» в Принстоне. В этот день Фейнман, сидя рядом с Гербертом Йеле, бывшим студентом Шрёдингера, спросил его о том, знает ли он кого-то, кто уже применял принцип наименьшего действия в квантовой механике. Его лицо осветилось в тот момент, когда Йеле ответил, что Дирак, один из его кумиров, написал статью по этому поводу восемь лет назад.
Принцип наименьшего квантового действия
Упомянутая статья называлась «Лагранжиан в квантовой механике». Дирак высказывал мысль, что данный метод мог быть очень продуктивным и показывать неплохие результаты, так как он использовал принцип наименьшего действия, и лагранжиан мог быть простым способом ввести результаты теории относительности Эйнштейна.
Мы не нашли ничего ошибочного в теории квантовой электродинамики. Исходя из этого, я сказал бы, что речь идет о жемчужине научной мысли.
Ричард Фейнман «Свет и материя: странная история» (1954)
В своей статье Дирак подошел к проблеме так же, как и Фейнман, то есть рассчитывал вероятность, связанную с траекторией частицы. Но Дирак не углублялся в данную тему, а работал только над некоторыми деталями. Это Фейнмана не смущало, так как он знал уже достаточно, чтобы следовать намеченному Дираком пути. Его больше беспокоило следующее высказывание английского физика: «Мы должны ожидать, что существует квантовый аналог величины...» «Что это слово [аналог] делает в статье о физике?» —взорвался Фейнман. — Если два выражения аналогичны, не являются ли они тогда равными?» «Нет, — ответил ему Йеле, — несомненно, Дирак не хотел сказать, что они равны». Тогда Фейнман подошел к доске и начал делать расчеты. Дирак был прав, они не были равны. Тогда он подумал: «Может быть, если добавить константу...»
Он начал писать так быстро, что Йеле не мог угнаться за ним, прыгая от одного уравнения к другому, пока на доске не появилось что-то очень знакомое: уравнение Шрёдингера. Действительно существовала связь с формализмом Лагранжа! Как одержимый, Йеле начал переносить в тетрадь уравнения, написанные на доске. Слово «аналог», употребленное Дираком, означало «пропорциональный». Фейнман только что обнаружил нечто очень важное. Только один вопрос еще его мучил: как великий Дирак мог этого не учесть? Таким образом, когда он встретил его в 1946 году во время празднования 200-летия Принстона, между ними состоялся следующий диалог.
— Знали ли вы, что величины не аналогичны, а пропорциональны? — спросил Фейнман.
— В самом деле? — спросил Дирак.'
— Да.
— О! Как интересно!
Учитывая крайне молчаливый характер Дирака, это был очень долгий разговор...