§ 4. Поле тяготения больших тел
Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физических задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фиг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть a, а масса единицы площади этой плоскости есть ?., где ?=m/4?a2 – поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы dm есть
Но мы видим, что
Значит,
2rdr=-2Rdx,
или
Поэтому
и получается
Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы m', внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее центре!
Но посмотрим, что произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений r, но уже в другой форме: (a+R)-(а–R)=2R (двойное расстояние от Р до центра). Другими словами, теперь W становится равной W=-Gmm'/a, что не зависит от R, т. е. точка Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия сил, сила действует только снаружи.
*Энергия в единицах табл. 9.2 есть ?(v2x+v2y)-1/r
Глава 14
РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (II)
§1. Работа
§2. Движение при наложенных связях
§3. Консервативные силы
§4. Неконсервативные силы
§5. Потенциалы и поля
§ 1. Работа
В предыдущей главе мы ввели много новых понятий и идей, играющих важную роль в физике. Идеи эти столь важны, что, пожалуй, стоит посвятить целую главу внимательному ознакомлению с ними. Мы не будем здесь повторять «доказательства» и красивые приемы, позволяющие просто получать важные результаты, а вместо этого сосредоточим наше внимание на обсуждении самих идей.
Штудируя любой вопрос технического характера, для понимания которого нужна математика, мы всегда сталкиваемся с необходимостью понять и отложить в памяти массу фактов и идей, объединенных определенными связями, Существование этих связей можно «доказать или «показать». Ничего не стоит спутать само доказательство с тем соотношением, которое оно устанавливает. Конечно, куда важнее выучить и запомнить не доказательство, а само соотношение. Тогда уж в любом случае мы сможем сказать: «Легко показать, что…» то–то и то–то верно, а то и действительно показать это, Приводимые доказательства почти всегда состряпаны, сфабрикованы с таким расчетом чтобы, во–первых, их легко было воспроизвести мелом на доске или пером на бумаге и, во–вторых, чтобы они выглядели поглаже. В итоге доказательство выглядит обманчиво просто, хотя, быть может, на самом деле автор много часов искал разные пути расчета, пока не нашел самый изящный – тот, который приводит к результату за кратчайшее время! Глядя на вывод формулы, надо вспоминать не этот вывод, а скорее сам факт, что то–то и то–то можно доказать. Конечно, если доказательство требует особых математических выкладок или «трюков», никогда прежде не виденных, то надо обратить внимание… впрочем, не на сами трюки, а на их идею.
Ни одно из доказательств, приведенных в этом курсе, автор не запомнил с тех времен, когда сам учил физику. Наоборот, он просто вспоминает, что то–то является верным, и, пытаясь пояснить, как это доказывается, сам придумывает доказательство в тот момент, когда оно необходимо. И всякий, кто действительно изучил предмет, должен быть в состоянии поступать так же, не запоминая доказательств. Вот почему в этой главе мы будем избегать вывода различных положений, сделанных ранее, а просто будем подводить итоги.
Первая идея, которую нужно будет переварить, – это то, что работа производится силой. Физический термин «работа» ничего общего не имеет с общежитейским ее смыслом…
Физическая работа выражается в виде ?F•ds, или «контурный интеграл от F по ds «скалярно»; последнее означает, что если сила направлена, скажем, в одну сторону, а тело, на которое сила действует, перемещается в другую сторону, то работу совершает только составляющая силы в направлении перемещения. Если бы, например, сила была постоянна, а смещение произошло на конечный отрезок ?s, то работа, выполненная постоянной силой на этом пути, была бы равна произведению составляющей силы вдоль ?s на ?s. Правило гласит: «работа есть сила на путь», но подразумевается лишь составляющая силы в направлении перемещения, умноженная на ?s, или, что одно и то же, составляющая перемещения в направлении силы, умноженная на F.
Очевидно, что сила, направленная под прямым углом к перемещению, никакой работы не произведет.
Если, далее, вектор смещения ?s разложить на составляющие, т. е. если истинное смещение есть ?s и мы хотим считать, что оно состоит из составляющих смещения ?x; в направлении х, ?y в направлении у и ?z в направлении z, то вся произведенная работа перемещения тела из одного места в другое может быть рассчитана по трем частям: отдельно работа смещения вдоль х, вдоль у и вдоль z. Работа перемещения вдоль х требует знания только соответствующей составляющей силы Fxи т. д., так что работа равна Fx?x+Fy?y+Fz?z. Когда сила не постоянна, а движение запутанное, криволинейное, то нужно разбить путь на множество малых ?s, сложить работы переноса тела вдоль каждого ?s и перейти к пределу при ?s, стремящемся к нулю. В этом смысл понятия «контурный интеграл».
Все, что мы только что сказали, содержится в формуле W=?F•ds. Но одно дело назвать эту формулу прекрасной, и
совсем другое – понять ее смысл и ее следствия.
Смысл слова «работа» в физике настолько отличается от того, что подразумевают под этим словом в обычных обстоятельствах, что надо тщательно проследить это различие. Например, по точному смыслу физического определения работы, если вы держите в руках двухпудовую гирю, вы не совершаете никакой работы. Вас бросает в пот, ваши руки дрожат, вы дышите тяжело, как будто взбежали по лестнице, а работы вы не совершаете. Когда вы взбегаете по лестнице, то считается, что вы совершаете работу; когда вы сбегаете по лестнице вниз, то, согласно физике, мир производит работу над вами, а вот когда вы держите предмет, стоя неподвижно, никакой работы не производится. Физическое определение работы отличается от физиологического по причинам, которые мы сейчас кратко изложим.
Когда вы держите груз, вы, конечно, выполняете «физиологическую» работу. Отчего вас бросает в пот? Почему для такого занятия вам необходимо хорошо питаться? Почему все механизмы внутри вас работают в полную силу, когда вы подставили спину под груз? Ведь можно на этот груз не тратить никаких усилий, стоит лишь положить его на стол, и стол спокойно и мирно, не нуждаясь ни в какой энергии, будет держать себе тот же груз на той же высоте! Физиология дает примерно следующее объяснение. У человека и у других животных есть два рода мышц. Одни, называемые поперечнополосатыми, или скелетными, контролируются нашей волей; таковы, например, мышцы рук. Другие мышцы называются гладкими (например, мышцы внутренностей или у моллюсков большой замыкающий мускул, который закрывает створки). Гладкие мышцы работают очень медленно, но способны «оцепенеть»; это значит, что если, скажем, моллюску нужно удержать свои створки в определенном положении, то он их удержит, какая бы сила на них ни нажимала. Многие часы способен он без устали держать створки под нагрузкой, подобно столу, на который положен груз; мышца «застывает» в определенном положении, молекулы ее как бы схватываются друг с другом, не совершая никакой работы, не требуя от моллюска никаких усилий. Нам же нужны непрерывные усилия, чтобы удержать вес. Это объясняется просто устройством поперечнополосатых мышц. Когда нервный импульс достигает мышечного волокна, оно несколько сокращается и затем опять расслабляется; когда мы держим груз, то в мышцу сплошным и обильным потоком текут нервные импульсы, множество волокон сокращается, пока другие отдыхают. Это даже можно увидеть: когда рука устает держать тяжесть, она начинает дрожать. Происходит это потому, что поток импульсов нерегулярен и уставшие мышцы не успевают вовремя на них ответить. Почему же мышцы собраны по такой неудачной схеме? Неизвестно почему, но природа не сумела создать быстродействующих гладких мышц. А куда удобнее было бы поднимать грузы именно гладкими мышцами: они способны замирать на месте, они могут цепенеть и для этого не нужно было бы совершать никакой работы и не нужна никакая энергия. Правда, у этих мышц есть один недостаток: они очень медленно работают.