Возьмем снова эксперимент с вращающимся столиком. Рассмотрим отдельно тело и руки, с точки зрения человека, вращающегося на столике. Согнув руки с гантелями, мы стали вращаться быстрее, но заметьте, что тело при этом не изменило своего момента инерции; тем не менее оно стало вращаться быстрее, чем прежде. Если бы мы провели вокруг тела окружность и рассмотрели только предметы внутри этой окружности, то их момент количества движения изменился бы; они закрутились бы быстрее. Следовательно, когда мы сгибаем руки, на тело должен действовать момент силы. Однако центробежная сала не может дать никакого момента, так как она направлена по радиусу. Это говорит о том, что среди сил, возникающих во вращающейся системе, центробежная сила не одинока: есть еще и другая сила. Эта другая сила носит название кориолисовой силы, или силы Кориолиса. Она обладает очень странным свойством: оказывается, что если мы во вращающейся системе двигаем какой-то предмет, то она толкает его вбок. Как и центробежная сила, эта сила кажущаяся. Но если мы живем во вращающейся системе и хотим что-то двигать по радиусу, то для этого мы должны тянуть его несколько вбок. Именно эта «боковая» сила создает момент, который раскручивает наше тело.
Перейдем теперь к формулам и покажем, как кориолисова сила работает на практике. Пусть Мик сидит на карусели, которая кажется ему неподвижной. С точки зрения Джо, который стоит на земле и знает истинные законы механики, карусель крутится. Предположим, что мы провели радиальную прямую на карусели и пусть Мик двигает прямо по этой линии какую-то массу. Я хочу показать, что для того, чтобы все было так, как мы описали, необходима боковая сила. Это можно увидеть, обратив внимание на момент количества движения вращающейся массы. Она крутится все время с одной и той же угловой скоростью w, поэтому ее момент количества движения равен
L=mvтавгr=mwr·г=mwг2.
Если масса расположена близко к центру, то он сравнительно мал, но если мы передвигаем ее в новое положение и если мы увеличиваем r, то масса mприобретает больший момент количества движения, т. е. во время движения по радиусу на нее должен действовать некоторый момент силы. (Чтобы на карусели двигаться по радиусу, нужно наклониться и толкаться вбок. Попробуйте как-нибудь сами проделать это.) Поскольку момент силы равен скорости изменения L во время движения массы mпо радиусу, то
где через fk обозначена сила Кориолиса. В действительности мы хотели узнать, какую боковую силу должен прилагать Мик, чтобы двигать массу mсо скоростью vr=dr/dt. Как видите, она равна FK=т/r=2mwvr.
Теперь, имея формулу для кориолисовой силы, давайте рассмотрим несколько более подробно всю картину в целом. Как можно понять причину возникновения этой силы из элементарных соображений? Заметьте, что кориолисова сила не зависит от расстояния до оси и поэтому действует даже на оси! Оказывается, что легче всего понять именно силу, действующую на оси вращения. Для этого нужно просто посмотреть на все происходящее из инерциальной системы Джо, который стоит на земле. На фиг. 19.4 показаны три последовательных положения массы m, которая при t=0 проходит через ось.
Фиг. 19.4. Три последовательных положения движущейся по радиусу точки вращающегося столика.
Из-за вращения карусели масса, как мы видим, движется не по прямой линии, а по некоторому кривому пути, касающемуся диаметра в точке r=0. Но для того чтобы она двигалась по кривому пути, должна действовать ускоряющая сила. Это и есть кориолисова сила.
Однако с кориолисовой силой мы встречаемся не только в подобных ситуациях. Можно показать, что если предмет движется с постоянной скоростью по краю диска, то на него тоже действует кориолисова сила. Почему? Мик видит предмет движущимся со скоростью vм, а Джо видит его движущимся по окружности со скоростью vд=vм+wr, поскольку предмет вдобавок переносится каруселью. Как мы уже знаем, действующая в этом случае сила будет, в сущности, полностью центробежной силой скорости vд, равной тv2Д/r. Но, с точки зрения Мика, она должна состоять из трех частей. Все это можно записать в следующем виде:
Итак, Fr — это сила, которую измеряет Мик. Попытаемся понять, откуда что берется. Может ли Мик признать первый член? «Конечно,— сказал бы он,— даже если бы я не вращался, то такая центробежная сила должна возникнуть, если побежать по кругу со скоростью vм». Итак, это просто центробежная сила, появления которой Мик ожидает и которая не имеет ничего общего с вращением карусели. Вдобавок Мик думает, что должна быть еще одна центробежная сила, действующая даже на неподвижные предметы на его карусели. Это дает третий член. Однако в дополнение к ним существует еще один член — второй, который опять равен 2 mwvм. Раньше, при радиальной скорости, кориолисова сила fk была тангенциальна. Теперь же, при тангенциальной скорости, она радиальна. В самом деле, одно выражение отличается от другого только знаком. Сила всегда имеет одно и то же направление по отношению к скорости независимо от того, куда направлена скорость. Она действует под прямым углом к скорости и равна по величине 2mwv.
Глава 20
ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве
§ 2. Уравнения вращения в векторном виде
§ 3. Гироскоп
§ 4. Момент количества движения твердого тел
§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве
В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Однако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных случаев.
Прежде всего хочу отметить, что для вращения в трех измерениях твердого тела или какого-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря, xFy-yFxтак и остается моментом силы «в плоскости ху», или моментом силы «относительно оси z». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения величины хрy-урх; если вы вспомните вывод уравнения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обстоятельства, что движение плоское, и просто дифференцировали величину хру-урхи получали xFy-yFx, так что эта теорема остается верной. Величину хру-урхмы называли моментом количества движения в плоскости ху, или моментом количества движения относительно оси z. Кроме плоскости ху, можно использовать другие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость yz. Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, a z вместо у, то для момента силы получим выражение yFz-zFyи ypz-zpyбудет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость zx и получить для нее