Глава 20
ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве
§ 2. Уравнения вращения в векторном виде
§ 3. Гироскоп
§ 4. Момент количества движения твердого тел
§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве
В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Однако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных случаев.
Прежде всего хочу отметить, что для вращения в трех измерениях твердого тела или какого-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря, xFy-yFx так и остается моментом силы «в плоскости ху», или моментом силы «относительно оси z». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения величины хрy-урх; если вы вспомните вывод уравнения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обстоятельства, что движение плоское, и просто дифференцировали величину хру-урх и получали xFy-yFx, так что эта теорема остается верной. Величину хру-урх мы называли моментом количества движения в плоскости ху, или моментом количества движения относительно оси z. Кроме плоскости ху, можно использовать другие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость yz. Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, a z вместо у, то для момента силы получим выражение yFz-zFy и ypz-zpy будет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость zx и получить для нее
zFx-xFz=d/dt(zpx-xpz).
Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как хру—урх, для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плоскостей: ху, yz и zx, а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плоскостях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.
Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказывается, что если мы в комбинации x'Fy'-y'Fx' для «косой» плоскости выразим величины x', Fy' и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях ху, yz и zx. В этом нет ничего нового. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях ху, yz и zx, то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комбинации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.