Это и есть первое уравнение из преобразований Лоренца.
§ 6. Одновременность
Подобным же образом из-за различия в масштабах времени появляется и знаменатель в уравнении (15.Зг) в преобразованиях Лоренца. Самое интересное в этом уравнении — это новый и неожиданный член в числителе, член ux/с2. В чем его смысл? Внимательно вдумавшись в положение вещей, можно понять, что события, происходящие, по мнению Мика (наблюдателя в системе S'), в разных местах одновременно, с точки зрения Джо (в системе S), вовсе не одновременны. Когда одно событие случилось в точке x1 в момент t0, а другое — в точке х2 в тот же момент t0, то соответствующие моменты t1 и t2 отличаются на
Это явление можно назвать «нарушением одновременности удаленных событий». Чтобы пояснить его, рассмотрим следующий опыт.
Пусть человек, движущийся в космическом корабле (система S'), установил в двух концах корабля часы. Он хочет знать, одинаково ли они идут. Как синхронизовать ход часов? Это можно сделать по-разному. Вот один из способов, он почти не требует вычислений. Расположимся как раз где-то посредине между часами. Из этой точки пошлем в обе стороны световые сигналы. Они будут двигаться в обоих направлениях с одинаковой скоростью и достигнут обоих часов в одно и то же время. Вот этот-то одновременный приход сигналов и можно применить для согласования хода. Положим, что человек в S' таким способом согласует ход часов. Посмотрим, согласится ли наблюдатель в системе S, что эти часы идут одинаково. Космонавт в системе S' имеет право верить, что их ход одинаков; ведь он не знает, что он движется. Но наблюдатель в системе S сразу рассудит, что раз корабль движется, то часы на носу корабля удалились от светового сигнала и свету пришлось пройти больше половины длины корабля, прежде чем он достиг часов; часы на корме, наоборот, двигались к световому сигналу — значит, его путь сократился. Поэтому сигнал сперва дошел до часов на корме, хотя космонавту в системе S' показалось, что сигналы достигли обоих часов одновременно. Итак, выходит, что когда космонавт считает, что события в двух местах корабля произошли одновременно (при одном и том же значении t' в его системе координат), то в другой системе координат одинаковым t' отвечают разные значения t!
§ 7. Четырехвекторы
Что еще можно обнаружить в преобразованиях Лоренца? Любопытно, что в них преобразование х и t по форме похоже на преобразование хну, изученное нами в гл. 11, когда мы говорили о вращении координат. Тогда мы получили
т. е. новое х' перемешивает старые х и y, а у' тоже их перемешивает. Подобным же образом в преобразовании Лоренца новое х' есть смесь старых х и t, а новое t' — смесь t и х. Значит, преобразование Лоренца похоже на вращение, но «вращение» в пространстве и времени. Это весьма странное понятие. Проверить аналогию с вращением можно, вычислив величину
В этом уравнении три первых члена в каждой стороне представляют собой в трехмерной геометрии квадрат расстояния между точкой и началом координат (сферу). Он не меняется (остается инвариантным), несмотря на вращение осей координат. Аналогично, уравнение (15.9) свидетельствует о том, что существует определенная комбинация координат и времени, которая остается инвариантной при преобразовании Лоренца, Значит, имеется полная аналогия с вращением; аналогия эта такого рода, что векторы, т. е. величины, составленные из «компонент», преобразуемых так же, как и координаты, оказываются полезными и в теории относительности.