Фейнмановские лекции по физике 2a

|В |² или ВВ *— в виде произведения числа В на комплексно сопряженное.) Эта теорема пригодится нам еще много раз.

Итак, речь идет об энергии осциллятора, на который действует внешняя сила. Движение такого осциллятора описывается уравнением

Мы, конечно, предполагаем, что F(t) пропорциональна coswt. Выясним теперь, много ли приходится этой силе работать. Работа, произведенная силой в 1 сек, т. е. мощность, равна произведению силы на скорость. [Мы знаем, что работа, совершаемая за время dt, равна Fdx, а мощность равна F(dx/dt).] Значит,

Как легко проверить простым дифференцированием, первые два члена можно переписать в виде (d/dt)][^l/₂m(dx/dt)²+¹/₂mw²x²]. Выражение в квадратных скобках — производная по времени суммы двух членов. Это понятно; ведь первый член суммы — кинетическая энергия движения, а второй — потенциальная энергия пружины. Назовем эту величину запасенной энергией, т. е. энергией, накопленной при колебаниях. Давайте усредним мощность по многим циклам, когда сила включена уже давно и осциллятор изрядно наколебался. Если пробег длится долго, запасенная энергия не изменяется; производная по времени дает эффект, в среднем равный нулю. Иными словами, если усреднить затраченную за долгое время мощность, то вся энергия поглотится из-за сопротивления, описываемого членом gm(dx/dt)². Определенную часть энергии осциллятор, конечно, запасет, но если усреднять по многим циклам, то количество ее не будет меняться со временем. Таким

образом, средняя мощность <P> равна

Применяя метод комплексных чисел и нашу теорему о том, что <А²>=¹/₂A²₀, легко найти эту среднюю мощность. Так как

, то . Следовательно, средняя мощность равна

<P>=¹/₂gw²x²₀. (24.4)

Если перейти к электрическим цепям, то dx/dt надо заменить на ток I (I — это dq/dt, где q соответствует х), а gm — на сопротивление R. Значит, скорость потери энергии (мощности силы) в электрической цепи равна произведению сопротивления на средний квадрат силы тока

<Р>=R<I²>=R^l/₂I²₀. (24.5)

Энергия, естественно, переходит в тепло, выделяемое сопротивлением; это так называемые тепловые потери, или джоулево тепло.

Интересно разобраться также в том, много ли энергии может накопить осциллятор. Не путайте этого вопроса с вопросом о средней мощности, ибо хотя выделяемая силой мощность сначала действительно накапливается осциллятором, потом на его долю остается лишь то, что не поглотило трение. В каждый момент осциллятор обладает вполне определенной энергией, поэтому можно вычислить среднюю запасенную энергию <E>. Мы уже вычислили среднее значение (dx/dt)², так что

Если осциллятор достаточно добротен и частота w близка к w₀, то ЅхЅ — большая величина, запасенная энергия очень велика и можно накопить очень много энергии за счет небольшой силы. Сила производит большую работу, заставляя осциллятор раскачиваться, но после того, как установилось равновесие, вся сила уходит на борьбу с трением. Осциллятор располагает большой энергией, если трение очень мало, и потери энергии невелики даже при очень большом размахе колебаний. Добротность осциллятора можно измерять величиной запасенной энергии по сравнению с работой, совершенной силой за период колебания.