Фиг. 38.8. Интенсивность нейтронов, выходящих us стержня графита, как функция длины волны.
§ 4. Размер атома
Рассмотрим еще одно применение принципа неопределенности (38.3), но только, пожалуйста, не воспринимайте этот расчет чересчур буквально; общая мысль правильна, но анализ проделан не очень аккуратно. Мысль эта касается определения размера атомов; ведь по классическим воззрениям электроны должны были бы излучать свет и, крутясь по спирали, упасть на поверхность ядра. Но, согласно квантовой механике, это невозможно, потому что в противном случае мы бы знали, где очутился электрон и насколько быстро он вертится.
Допустим, имеется атом водорода и мы измеряем положение электрона; мы не должны быть в состоянии предвидеть точно, где он окажется, иначе расплывание импульса станет бесконечным. Всякий раз, как мы смотрим на электрон, он где-нибудь оказывается; у него есть амплитуда вероятности оказаться в различных местах, так что есть вероятность найти его где угодно. Однако не все эти места должны быть возле самого ядра; положим, что существует разброс в расстояниях порядка а, т. е. расстояние от ядра до электрона примерно в среднем равно а. Определим а, потребовав, чтобы полная энергия атома оказалась минимальной.
Разброс в импульсах, в согласии с соотношением неопределенностей, должен быть равен примерно h/а; поэтому, стремясь измерить как-нибудь импульс электрона (например, рассеивая на нем фотоны и наблюдая эффект Допплера от движущегося рассеивателя), мы не будем получать все время нуль (электрон не стоит на месте), а будем получать импульсы порядка р»h/а. Кинетическая энергия электронов примерно будет равна 1/2mv2 = Р2/2m = h2/2ma2. (To, что мы сейчас делаем, в каком-то смысле есть анализ размерностей: мы прикидываем, как кинетическая энергия может зависеть от постоянной Планка h, массы т и размера атома а. Ответ получается с точностью до численных множителей типа 2, p и т. д. Мы даже не определили как следует а.) Далее, потенциальная энергия равна частному от деления минус е2 на расстоянии от центра, скажем, — е2/а (как мы помним, е2 — это квадрат заряда электрона, деленный на 4pe0). Теперь смотрите: когда а уменьшается, то потенциальная энергия тоже уменьшается, но чем меньше а, тем больше требуемый принципом неопределенности импульс и тем больше кинетическая энергия. Полная энергия равна
(38.10)
Мы не знаем, чему равно а, но зато мы знаем, что атом, обеспечивая свое существование, вынужден идти на компромисс, с тем чтобы полная энергия его была как можно меньше. Чтобы найти минимум Е, продифференцируем его по а, потребуем равенства производной нулю и найдем а. Производная Е равна
(38.11)
Уравнение dE/da=0 дает для а величину
(38.12)
Это расстояние называется воровским радиусом, и мы видим, что размеры атома — порядка ангстрема. Получилась правильная цифра. Это очень хорошо, это даже удивительно хорошо, ведь до сих пор никаких теоретических соображений о размере атома у нас не было. С классической точки зрения атомы попросту невозможны: электроны должны упасть на ядра. Подставив формулу (38.12) для а0 в (38.10), мы найдем энергию. Она оказывается равной